В цилиндр вписана прямая призма, основание которой представляет собой треугольник со сторонами 6 см и 6 см и углом 120 градусов между ними. Какой объем цилиндра, если в осевом сечении цилиндра расположен квадрат?

Геометрия 11 класс Вписанные и описанные фигуры объём цилиндра прямая призма треугольник осевое сечение угол 120 градусов геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи сначала определим необходимые параметры призмы и цилиндра.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы.

Основание призмы - это треугольник со сторонами 6 см и 6 см и углом 120 градусов между ними. Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу:

Площадь = 0.5 * a * b * sin(угол),

где a и b - стороны треугольника, угол - угол между ними.

Подставим известные значения:

• a = 6 см
• b = 6 см
• угол = 120 градусов

Сначала найдем sin(120 градусов). Это значение равно sin(180 - 60) = sin(60) = √3/2.

Теперь подставим все в формулу:

Площадь = 0.5 * 6 * 6 * (√3/2) = 18√3 см².

Шаг 2: Найдем высоту призмы.

В условии задачи не указано, какая высота у призмы, но мы знаем, что призма вписана в цилиндр. Это значит, что высота призмы равна высоте цилиндра. Обозначим высоту призмы (и цилиндра) как h.

Шаг 3: Найдем радиус основания цилиндра.

В осевом сечении цилиндра расположен квадрат. Сторона квадрата равна диаметру основания цилиндра. Поскольку основание призмы - это треугольник, вписанный в круг, радиус этого круга можно найти. Для треугольника со сторонами 6 см и углом 120 градусов радиус описанной окружности R можно найти по формуле:

R = (a * b * c) / (4 * S),

где S - площадь треугольника, а c - третья сторона треугольника. Чтобы найти c, используем закон косинусов:

c² = a² + b² - 2ab * cos(угол).

Подставим значения:

c² = 6² + 6² - 2 * 6 * 6 * cos(120 градусов).

cos(120 градусов) = -1/2, поэтому:

c² = 36 + 36 + 36 = 108,

c = √108 = 6√3 см.

Теперь подставим a, b, c и S в формулу для R:

R = (6 * 6 * 6√3) / (4 * 18√3) = 9 см.

Шаг 4: Найдем объем цилиндра.

Объем цилиндра можно найти по формуле:

V = πR²h.

Подставим R = 9 см:

V = π * (9)² * h = 81πh см³.

Итог:

Объем цилиндра равен 81πh см³, где h - высота призмы и цилиндра. Чтобы получить конкретное значение объема, необходимо знать высоту h.