Для решения задачи начнем с того, что представим куб ABCDA₁B₁C₁D₁ в трехмерной системе координат. Пусть координаты вершин куба будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A₁(0, 0, 1)
• B₁(1, 0, 1)
• C₁(1, 1, 1)
• D₁(0, 1, 1)

Теперь найдем координаты точек M и T:

• Точка M является серединой ребра AD, поэтому ее координаты: M(0, 0.5, 0).
• Точка T является серединой ребра CD, поэтому ее координаты: T(0.5, 1, 0).

Теперь найдем векторы MT и B₁A₁:

• Вектор MT = T - M = (0.5 - 0, 1 - 0.5, 0 - 0) = (0.5, 0.5, 0).
• Вектор B₁A₁ = A₁ - B₁ = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 1) = (-1, 0, 0).

Теперь мы можем найти угол между векторами MT и B₁A₁. Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где a и b - наши векторы, а "·" обозначает скалярное произведение.

Сначала найдем скалярное произведение:

a · b = (0.5 * -1) + (0.5 * 0) + (0 * 0) = -0.5.

Теперь найдем длины векторов:

• |MT| = sqrt((0.5)^2 + (0.5)^2 + 0^2) = sqrt(0.25 + 0.25) = sqrt(0.5) = sqrt(2)/2.
• |B₁A₁| = sqrt((-1)^2 + 0^2 + 0^2) = sqrt(1) = 1.

Теперь подставим все значения в формулу:

cos(θ) = -0.5 / (sqrt(2)/2 * 1) = -0.5 / (sqrt(2)/2) = -0.5 * (2/sqrt(2)) = -1/sqrt(2).

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(-1/sqrt(2)) = 135°.

Таким образом, угол между прямыми MT и B₁A₁ равен 135 градусов.