В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом 120°, а из центра верхнего основания - под углом 60°. Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если длина этой хорды равна 6 см?

Геометрия 11 класс Цилиндры и их свойства площадь боковой поверхности цилиндра хорда в цилиндре углы в цилиндре геометрия 11 класс задачи по геометрии цилиндр и хорда решение задачи по геометрии Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нам нужно сначала определить радиус основания цилиндра. Для этого воспользуемся данными об углах, под которыми хорда видна из центров оснований.

Дано, что длина хорды равна 6 см. Обозначим радиус основания цилиндра как R.

1. Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Из центра основания, угол между радиусами, проведенными к концам хорды, равен 120°. Это значит, что угол между двумя радиусами, проведенными к концам хорды, составляет 120°. Мы можем использовать формулу для длины хорды:

Длина хорды = 2 * R * sin(угол/2)

Подставим значения:

• Длина хорды = 6 см
• Угол = 120°

Теперь найдем угол/2:

• 120° / 2 = 60°

Теперь подставим в формулу:

6 = 2 * R * sin(60°)

Зная, что sin(60°) = √3/2, подставляем:

6 = 2 * R * (√3/2)

Упрощаем уравнение:

6 = R * √3

Теперь найдем R:

R = 6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3 см

2. Теперь найдем высоту цилиндра. У нас есть угол 60° из центра верхнего основания. Используем ту же формулу для длины хорды:

Длина хорды = 2 * R * sin(угол/2)

Здесь угол = 60°:

• 60° / 2 = 30°

Подставим в формулу:

6 = 2 * R * sin(30°)

Зная, что sin(30°) = 1/2, подставляем:

6 = 2 * R * (1/2)

Упрощаем уравнение:

6 = R

Таким образом, высота цилиндра h равна R = 6 см.

3. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра. Формула для площади боковой поверхности цилиндра:

Площадь боковой поверхности = 2 * π * R * h

Подставим значения:

• R = 2√3 см
• h = 6 см

Площадь боковой поверхности = 2 * π * (2√3) * 6 = 24√3 * π см².

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 24√3 * π см².