В основании прямоугольного параллелепипеда находится квадрат. Как можно вычислить объём этого параллелепипеда, если его диагональ равна 16 и образует угол 60° с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Объем и площадь фигур объём прямоугольного параллелепипеда квадратное основание диагональ параллелепипеда угол с плоскостью вычисление объёма Новый

Чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, в основании которого находится квадрат, и который имеет известную диагональ и угол с плоскостью основания, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти длину диагонали основания

Обозначим сторону квадрата, который является основанием параллелепипеда, как a. Диагональ квадрата D можно вычислить по формуле:

• D = a * √2

Так как диагональ параллелепипеда равна 16, мы можем записать:

• D = 16

Таким образом, у нас есть уравнение:

• a * √2 = 16

Теперь решим это уравнение для a:

• a = 16 / √2 = 16 * √2 / 2 = 8√2

Шаг 2: Найти высоту параллелепипеда

Обозначим высоту параллелепипеда как h. Угол между диагональю и плоскостью основания равен 60°. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

Зная, что косинус угла равен отношению прилежащего катета (высоты) к гипотенузе (диагонали параллелепипеда), мы можем записать:

• cos(60°) = h / 16

Поскольку cos(60°) = 0.5, подставляем это значение в уравнение:

• 0.5 = h / 16

Теперь решим это уравнение для h:

• h = 0.5 * 16 = 8

Шаг 3: Вычислить объём параллелепипеда

Объём V прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле:

• V = a² * h

Теперь подставим найденные значения a и h:

• a = 8√2
• h = 8

Теперь подставим в формулу объёма:

• V = (8√2)² * 8

Посчитаем:

• (8√2)² = 64 * 2 = 128
• V = 128 * 8 = 1024

Ответ:

Объём прямоугольного параллелепипеда равен 1024 кубических единиц.