Чтобы найти объем прямой призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. В данном случае основание призмы - это треугольник со сторонами 10, 10 и 12.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника.

Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника. Сначала найдем полупериметр (p):

• Стороны треугольника: a = 10, b = 10, c = 12.
• Полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (10 + 10 + 12) / 2 = 16.

Теперь можем найти площадь (S) по формуле Герона:

• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
• где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

Подставляем значения:

• S = √(16 * (16 - 10) * (16 - 10) * (16 - 12))
• S = √(16 * 6 * 6 * 4) = √(384) = 8√6.

Таким образом, площадь основания треугольника равна 8√6.

Шаг 2: Найдем высоту призмы.

Теперь нам нужно найти высоту призмы. Для этого используем угол, который диагональ меньшей боковой грани образует с плоскостью основания. У нас есть угол 60 градусов.

Пусть h - высота призмы. Тогда, зная, что диагональ меньшей боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, можем использовать тригонометрию:

• cos(60°) = h / d, где d - длина диагонали меньшей боковой грани.

Сначала найдем d. Длина диагонали меньшей боковой грани равна:

• d = √(12² + h²),

где 12 - это длина стороны основания, соответствующая меньшей боковой грани.

Теперь подставим это в уравнение:

• cos(60°) = h / √(12² + h²).

Зная, что cos(60°) = 0.5, получаем:

• 0.5 = h / √(144 + h²).

Перепишем уравнение и решим его:

• 0.5 * √(144 + h²) = h,
• √(144 + h²) = 2h,
• 144 + h² = 4h²,
• 3h² = 144,
• h² = 48,
• h = √48 = 4√3.

Шаг 3: Найдем объем призмы.

Объем V призмы можно найти по формуле:

• V = S * h,

где S - площадь основания, h - высота призмы.

Подставляем найденные значения:

• V = 8√6 * 4√3 = 32√18 = 32 * 3√2 = 96√2.

Ответ: Объем призмы равен 96√2 кубических единиц.