В основании прямой призмы находится треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Диагональ меньшей боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Какой объем имеет эта призма?

Геометрия 11 класс Объем прямой призмы прямая призма объём призмы треугольник угол 60 градусов боковая грань геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объем прямой призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. В данном случае основание призмы - это треугольник со сторонами 10, 10 и 12.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника.

Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника. Сначала найдем полупериметр (p):

• Стороны треугольника: a = 10, b = 10, c = 12.
• Полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (10 + 10 + 12) / 2 = 16.

Теперь можем найти площадь (S) по формуле Герона:

• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
• где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

Подставляем значения:

• S = √(16 * (16 - 10) * (16 - 10) * (16 - 12))
• S = √(16 * 6 * 6 * 4) = √(384) = 8√6.

Таким образом, площадь основания треугольника равна 8√6.

Шаг 2: Найдем высоту призмы.

Теперь нам нужно найти высоту призмы. Для этого используем угол, который диагональ меньшей боковой грани образует с плоскостью основания. У нас есть угол 60 градусов.

Пусть h - высота призмы. Тогда, зная, что диагональ меньшей боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, можем использовать тригонометрию:

• cos(60°) = h / d, где d - длина диагонали меньшей боковой грани.

Сначала найдем d. Длина диагонали меньшей боковой грани равна:

• d = √(12² + h²),

где 12 - это длина стороны основания, соответствующая меньшей боковой грани.

Теперь подставим это в уравнение:

• cos(60°) = h / √(12² + h²).

Зная, что cos(60°) = 0.5, получаем:

• 0.5 = h / √(144 + h²).

Перепишем уравнение и решим его:

• 0.5 * √(144 + h²) = h,
• √(144 + h²) = 2h,
• 144 + h² = 4h²,
• 3h² = 144,
• h² = 48,
• h = √48 = 4√3.

Шаг 3: Найдем объем призмы.

Объем V призмы можно найти по формуле:

• V = S * h,

где S - площадь основания, h - высота призмы.

Подставляем найденные значения:

• V = 8√6 * 4√3 = 32√18 = 32 * 3√2 = 96√2.

Ответ: Объем призмы равен 96√2 кубических единиц.