В основании прямой призмы расположен треугольник ABC, у которого стороны имеют длины AB=13, BC=14 и AC=15. Боковое ребро AA1 составляет 28. Точка M находится на отрезке AA1 и делит его в пропорции 4:3. Какова площадь сечения BMC?

Геометрия 11 класс Площадь сечения призмы геометрия прямой призмы треугольник ABC площадь сечения пропорция 4:3 боковое ребро длины сторон задача по геометрии Новый

Для нахождения площади сечения треугольника BMC, которое образуется при проведении плоскости через точки B, M и C, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем координаты точек A, B и C.

Сначала определим координаты вершин треугольника ABC. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(13, 0, 0)
• C(x, y, 0)

Для нахождения координат точки C будем использовать формулы для расстояний между точками.

Шаг 2: Найдем координаты точки C.

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие расстояния:

• AC = 15
• BC = 14

Сначала запишем уравнения для расстояний:

• AC: x^2 + y^2 = 15^2 = 225
• BC: (x - 13)^2 + y^2 = 14^2 = 196

Решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения: y^2 = 225 - x^2.
2. Подставим y^2 во второе уравнение:
3. (x - 13)^2 + (225 - x^2) = 196.
4. Раскроем скобки и упростим:
5. x^2 - 26x + 169 + 225 - x^2 = 196.
6. -26x + 394 = 196.
7. -26x = 196 - 394 = -198.
8. x = 198 / 26 = 7.615.
9. Теперь найдем y: y^2 = 225 - (7.615)^2 = 225 - 57.999 = 167.001, y = sqrt(167.001) = 12.922.

Таким образом, координаты точки C примерно равны C(7.615, 12.922, 0).

Шаг 3: Найдем координаты точки M.

Теперь найдем координаты точки M, которая делит отрезок AA1 в пропорции 4:3. Так как AA1 = 28, то:

• Длина AM = 4/7 * 28 = 16.
• Длина MM1 = 3/7 * 28 = 12.

Координаты точки M будут равны:

• M(0, 0, 16).

Шаг 4: Найдем площадь треугольника BMC.

Теперь у нас есть все необходимые координаты:

• B(13, 0, 0)
• M(0, 0, 16)
• C(7.615, 12.922, 0)

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где AB и AC - векторы, соединяющие точки B с M и B с C соответственно.

• Вектор BM = M - B = (0 - 13, 0 - 0, 16 - 0) = (-13, 0, 16)
• Вектор BC = C - B = (7.615 - 13, 12.922 - 0, 0 - 0) = (-5.385, 12.922, 0)

Теперь найдем векторное произведение BM и BC:

• BM x BC = |i j k|
• |-13 0 16|
• |-5.385 12.922 0|

Вычисляем определитель:

1. i(0*0 - 16*12.922) - j(-13*0 - 16*(-5.385)) + k(-13*12.922 - 0*(-5.385))
2. = -207.392i + 85.76j - 167.986k

Теперь находим модуль векторного произведения:

С = sqrt((-207.392)^2 + (85.76)^2 + (-167.986)^2) = sqrt(42954.5 + 7356.5 + 28273.6) = sqrt(78584.6) = 280.5.

Итак, площадь треугольника BMC равна:

Площадь = 0.5 * 280.5 = 140.25.

Ответ: Площадь сечения BMC составляет примерно 140.25 квадратных единиц.