В остроугольном треугольнике АВС радиус описанной окружности с центром О равен 8 см. Угол АОС составляет 140°, а разница между углами ВСА и ВАС равна 10°. Какова длина стороны АВ этого треугольника?

Геометрия 11 класс Описанная окружность треугольника остроугольный треугольник радиус описанной окружности угол АОС длина стороны АВ разница углов геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства треугольника и описанной окружности. Начнем с того, что у нас есть радиус описанной окружности R, который равен 8 см, и угол АОС, равный 140°.

1. **Определим углы треугольника.**

• Пусть угол ВАС обозначим как α, тогда угол ВСА будет равен α - 10°.
• Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

α + (α - 10°) + угол А = 180°

Угол А можно выразить через угол АОС, так как угол АОС является внешним углом для треугольника АВС:

Угол А = 180° - угол АОС = 180° - 140° = 40°

Подставим это значение в уравнение:

α + (α - 10°) + 40° = 180°

2α - 10° + 40° = 180°

2α + 30° = 180°

2α = 150°

α = 75°

Таким образом, угол ВАС равен 75°, а угол ВСА равен 75° - 10° = 65°.

2. **Теперь найдем длину стороны АВ.** Для этого воспользуемся формулой для длины стороны в треугольнике, связанной с описанной окружностью:

AB = 2R * sin(угол C / 2)

Здесь угол C равен углу А, который мы нашли ранее, т.е. 40°.

3. **Вычислим длину стороны АВ.** Подставим значения в формулу:

AB = 2 * 8 * sin(40° / 2) = 16 * sin(20°)

4. **Теперь найдем значение sin(20°).** Обычно мы можем использовать таблицы значений или калькулятор:

sin(20°) примерно равно 0.342.

Подставляем это значение:

AB ≈ 16 * 0.342 ≈ 5.472 см.

Таким образом, длина стороны АВ треугольника ABC составляет примерно 5.47 см.