В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания составляет 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Каковы:

1. длина бокового ребра пирамиды?
2. площадь полной поверхности пирамиды?

Геометрия 11 класс Правильные пирамиды правильная четырехугольная пирамида длина бокового ребра площадь полной поверхности угол наклона боковой грани геометрия 11 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Длина бокового ребра пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде основание представляет собой квадрат, а боковые грани — треугольники. У нас есть сторона основания, равная 6 см, и угол наклона боковой грани к плоскости основания, равный 60°.

Сначала найдем высоту боковой грани. Для этого воспользуемся тригонометрией. Обозначим:

• h - высота боковой грани;
• l - длина бокового ребра;
• h_осн - высота, опущенная из вершины пирамиды на центр основания.

В основании пирамиды, так как это квадрат, мы можем найти радиус окружности, описанной около квадрата, который равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по формуле:

Диагональ = сторона * корень из 2 = 6 * √2.

Радиус окружности, описанной около квадрата, будет равен:

R = (6 * √2) / 2 = 3√2 см.

Поскольку боковая грань наклонена под углом 60°, мы можем использовать тригонометрические соотношения:

sin(60°) = h / l, где l - длина бокового ребра.

Также, используя косинус, мы можем выразить h:

cos(60°) = h_осн / l, и h_осн = l * cos(60°) = l * 0.5.

Теперь, используя pythagorean theorem:

l^2 = h^2 + h_осн^2.

Заменим h и h_осн:

l^2 = (l * sin(60°))^2 + (l * cos(60°))^2.

Подставляем значения:

l^2 = (l * (√3/2))^2 + (l * (1/2))^2.

l^2 = (3/4)l^2 + (1/4)l^2 = l^2.

Таким образом, мы видим, что у нас есть равенство, и мы можем найти длину бокового ребра:

l = R / cos(60°) = (3√2) / (0.5) = 6√2 см.

2. Площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковых граней.

Площадь основания (квадрат) равна:

S_осн = сторона^2 = 6^2 = 36 см².

Теперь найдем площадь боковых граней. У нас 4 боковые грани, и каждая из них является равнобедренным треугольником с основанием, равным стороне основания (6 см), и высотой, равной h (высота боковой грани).

Площадь одной боковой грани равна:

S_бок = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 6 * h.

Мы уже нашли h, используя sin(60°): h = l * sin(60°) = 6√2 * (√3/2) = 3√6 см.

Теперь подставим значение высоты:

S_бок = (1/2) * 6 * 3√6 = 9√6 см².

Поскольку у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней равна:

S_бок_общ = 4 * S_бок = 4 * 9√6 = 36√6 см².

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды:

S_полная = S_осн + S_бок_общ = 36 + 36√6 см².

Таким образом, ответы на ваши вопросы:

• Длина бокового ребра пирамиды: 6√2 см;
• Площадь полной поверхности пирамиды: 36 + 36√6 см².