Для решения этой задачи начнем с анализа данных, которые нам известны:

• Боковое ребро пирамиды равно 6.
• Тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2 корня из 11.

Обозначим:

• h — высота боковой грани (апофема) от вершины пирамиды до основания;
• s — длина стороны основания.

Сначала найдем высоту боковой грани. Мы знаем, что тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания определяет отношение высоты боковой грани к радиусу основания треугольной пирамиды. В данном случае, это можно записать как:

tan(α) = h / (s / √3),

где α — угол между боковой гранью и плоскостью основания. Так как нам дано значение тангенса, подставим его в уравнение:

2√11 = h / (s / √3).

Перепишем это уравнение, выразив h:

h = 2√11 * (s / √3) = (2√11 * s) / √3.

Теперь у нас есть выражение для высоты боковой грани. Далее, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины бокового ребра:

h² + (s / 2)² = 6².

Подставим h из предыдущего выражения:

((2√11 * s) / √3)² + (s / 2)² = 36.

Теперь упростим это уравнение:

(4 * 11 * s²) / 3 + (s² / 4) = 36.

Умножим все уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4),чтобы избавиться от дробей:

4 * 11 * s² * 4 + 3 * s² = 36 * 12.

Это упростится до:

176s² + 3s² = 432.

Соберем подобные слагаемые:

179s² = 432.

Теперь выразим s²:

s² = 432 / 179.

И найдем длину стороны основания:

s = √(432 / 179).

Теперь упростим корень. Разложим 432 на множители:

432 = 16 * 27 = 16 * 3³.

Таким образом, мы можем записать:

s = (4 * 3√3) / √179.

Итак, длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна:

s = 4 * 3√3 / √179.