В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 6, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2 корня из 11. Какова длина стороны основания этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Правильные пирамиды правильная треугольная пирамида боковое ребро тангенс угла длина стороны основания геометрия 11 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа данных, которые нам известны:

• Боковое ребро пирамиды равно 6.
• Тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2 корня из 11.

Обозначим:

• h — высота боковой грани (апофема) от вершины пирамиды до основания;
• s — длина стороны основания.

Сначала найдем высоту боковой грани. Мы знаем, что тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания определяет отношение высоты боковой грани к радиусу основания треугольной пирамиды. В данном случае, это можно записать как:

tan(α) = h / (s / √3),

где α — угол между боковой гранью и плоскостью основания. Так как нам дано значение тангенса, подставим его в уравнение:

2√11 = h / (s / √3).

Перепишем это уравнение, выразив h:

h = 2√11 * (s / √3) = (2√11 * s) / √3.

Теперь у нас есть выражение для высоты боковой грани. Далее, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины бокового ребра:

h² + (s / 2)² = 6².

Подставим h из предыдущего выражения:

((2√11 * s) / √3)² + (s / 2)² = 36.

Теперь упростим это уравнение:

(4 * 11 * s²) / 3 + (s² / 4) = 36.

Умножим все уравнение на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

4 * 11 * s² * 4 + 3 * s² = 36 * 12.

Это упростится до:

176s² + 3s² = 432.

Соберем подобные слагаемые:

179s² = 432.

Теперь выразим s²:

s² = 432 / 179.

И найдем длину стороны основания:

s = √(432 / 179).

Теперь упростим корень. Разложим 432 на множители:

432 = 16 * 27 = 16 * 3³.

Таким образом, мы можем записать:

s = (4 * 3√3) / √179.

Итак, длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна:

s = 4 * 3√3 / √179.