В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Расстояние от вершины основания до боковой грани равно 3 корня из 3. Какова площадь боковой поверхности этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды правильная треугольная пирамида площадь боковой поверхности угол наклона расстояние до боковой грани геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим высоту боковой грани

В правильной треугольной пирамиде у нас есть треугольные боковые грани. Условие задачи говорит, что боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты боковой грани.

Пусть h - высота боковой грани. Мы знаем, что расстояние от вершины основания до боковой грани равно 3√3. Это расстояние является проекцией высоты боковой грани на основание. Используя тригонометрию, мы можем записать:

• h * cos(60°) = 3√3

Поскольку cos(60°) = 0.5, мы можем подставить это значение:

• h * 0.5 = 3√3

Теперь решим это уравнение для h:

• h = 3√3 / 0.5 = 6√3

Шаг 2: Найдем сторону основания

Теперь нам нужно найти сторону основания правильного треугольника. В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны, и высота боковой грани h также может быть связана со стороной основания a. Для боковой грани, которая является равнобедренным треугольником, мы можем использовать следующие соотношения:

• h = (√3 / 2) * a

Подставим найденное значение h:

• 6√3 = (√3 / 2) * a

Теперь решим это уравнение для a:

• a = 6√3 / (√3 / 2) = 6 * 2 = 12

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех одинаковых треугольных боковых граней. Площадь одной боковой грани можно найти по формуле:

• Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основание равняется стороне основания a, а высота равняется h:

• Площадь одной боковой грани = (1/2) * 12 * 6√3 = 36√3

Теперь, чтобы найти общую площадь боковой поверхности, умножим площадь одной грани на 3:

• Площадь боковой поверхности = 3 * 36√3 = 108√3

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 108√3.