Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим высоту боковой грани

В правильной треугольной пирамиде у нас есть треугольные боковые грани. Условие задачи говорит, что боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты боковой грани.

Пусть h - высота боковой грани. Мы знаем, что расстояние от вершины основания до боковой грани равно 3√3. Это расстояние является проекцией высоты боковой грани на основание. Используя тригонометрию, мы можем записать:

• h * cos(60°) = 3√3

Поскольку cos(60°) = 0.5, мы можем подставить это значение:

• h * 0.5 = 3√3

Теперь решим это уравнение для h:

• h = 3√3 / 0.5 = 6√3

Шаг 2: Найдем сторону основания

Теперь нам нужно найти сторону основания правильного треугольника. В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны, и высота боковой грани h также может быть связана со стороной основания a. Для боковой грани, которая является равнобедренным треугольником, мы можем использовать следующие соотношения:

• h = (√3 / 2) * a

Подставим найденное значение h:

• 6√3 = (√3 / 2) * a

Теперь решим это уравнение для a:

• a = 6√3 / (√3 / 2) = 6 * 2 = 12

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из трех одинаковых треугольных боковых граней. Площадь одной боковой грани можно найти по формуле:

• Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

В нашем случае основание равняется стороне основания a, а высота равняется h:

• Площадь одной боковой грани = (1/2) * 12 * 6√3 = 36√3

Теперь, чтобы найти общую площадь боковой поверхности, умножим площадь одной грани на 3:

• Площадь боковой поверхности = 3 * 36√3 = 108√3

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 108√3.