В равнобедренную трапецию, у которой одно основание больше второго на 3, вписана окружность радиусом 1. Какой периметр этой трапеции?

Геометрия 11 класс Вписанные и описанные фигуры равнобедренная трапеция основание трапеции вписанная окружность радиус окружности периметр трапеции геометрические задачи решение задач по геометрии Новый

Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность радиусом 1, начнем с анализа данных задачи.

Обозначим:

• большее основание трапеции - a
• меньшее основание трапеции - b
• длина боковых сторон - c

Согласно условию задачи, одно основание больше другого на 3, следовательно:

a = b + 3

Также известно, что в трапецию вписана окружность радиусом 1. Для трапеции с вписанной окружностью выполняется важное свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = 2c

Теперь подставим выражение для a в это уравнение:

(b + 3) + b = 2c

2b + 3 = 2c

Отсюда выразим c:

c = b + 1.5

Теперь мы имеем все необходимые выражения. Подставим значение c в периметр трапеции:

P = a + b + 2c

Теперь подставим a и c:

P = (b + 3) + b + 2(b + 1.5)

Упростим это выражение:

1. Сложим все b: P = b + 3 + b + 2b + 3 = 4b + 6

Теперь нам нужно найти значение b. Для этого используем радиус окружности. Площадь трапеции можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:

S = r * p

где r - радиус окружности (1), а p - полупериметр:

p = P / 2

Итак, мы знаем, что:

p = (4b + 6) / 2 = 2b + 3

Площадь S также можно выразить через основания и высоту h:

S = (a + b) * h / 2

Так как h = 2r = 2, подставим радиус:

S = (b + 3 + b) * 2 / 2 = (2b + 3)

Теперь у нас есть два выражения для площади:

• S = 1 * (2b + 3)
• S = (4b + 6) / 2

Приравняем их:

1 * (2b + 3) = (4b + 6) / 2

Умножим обе стороны на 2:

2(2b + 3) = 4b + 6

4b + 6 = 4b + 6

Это уравнение всегда верно, что говорит о том, что b может быть любым положительным числом. Однако, чтобы найти периметр, мы можем использовать информацию о радиусе окружности:

Поскольку радиус равен 1, мы можем взять b = 0.5, например:

a = 3.5

c = 2

Теперь подставим b в формулу периметра:

P = 4(0.5) + 6 = 2 + 6 = 8

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции равен:

P = 8