Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. **Определим радиус окружности**. Прямоугольник, вписанный в окружность, является прямоугольником, поэтому его диагональ является диаметром окружности. Для нахождения диагонали прямоугольника используем теорему Пифагора.

Стороны прямоугольника равны 24 см и 7 см. Обозначим их как a = 24 см и b = 7 см. Тогда диагональ D можно найти по формуле:

D = √(a² + b²)

Подставим значения:

D = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25 см

Таким образом, радиус R окружности будет равен половине диагонали:

R = D/2 = 25 см / 2 = 12.5 см

2. **Теперь найдем расстояния от середины одной из больших дуг до вершин прямоугольника**. Для этого сначала определим, где находятся середины больших дуг.

Середины больших дуг находятся на окружности, и они будут находиться между вершинами прямоугольника. Поскольку прямоугольник вписан в окружность, его вершины делят окружность на четыре равные дуги. Большие дуги — это дуги, которые находятся между двумя соседними вершинами прямоугольника.

3. **Рассмотрим одну из больших дуг**. Например, пусть мы рассматриваем дугу между вершинами, которые соответствуют сторонам 24 см. Середина этой дуги будет находиться на расстоянии R от центра окружности в направлении, перпендикулярном к отрезку, соединяющему две вершины прямоугольника.

4. **Теперь найдем расстояние от середины дуги до одной из вершин прямоугольника**. Это расстояние будет равно радиусу окружности R, так как середина дуги также находится на окружности.

5. **Итак, расстояние от середины одной из больших дуг до вершин прямоугольника равно радиусу окружности**:

Ответ: расстояние равно 12.5 см.