Для решения данной задачи начнем с нахождения сторон прямоугольного треугольника, основанием призмы. У нас есть гипотенуза, равная 13 см, и один из катетов, равный 12 см. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это уравнение:

• c^2 = a^2 + b^2
• где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Подставим известные значения:

• 13^2 = 12^2 + b^2
• 169 = 144 + b^2
• b^2 = 169 - 144
• b^2 = 25
• b = √25 = 5 см.

Таким образом, второй катет равен 5 см.

Наименьшая боковая грань призмы является квадратом, следовательно, сторона этого квадрата равна меньшему катету, то есть 5 см. Это значение также будет высотой призмы.

Площадь боковой поверхности призмы складывается из площадей всех боковых граней. В нашем случае призма имеет три боковые грани:

• две грани, основанные на катетах (12 см и 5 см),и
• одна грань, основанная на гипотенузе (13 см).

Формула для площади боковой поверхности призмы выглядит так:

• Площадь боковой поверхности = (периметр основания) * (высота).

Периметр основания равен сумме всех сторон треугольника:

• Периметр = 12 + 5 + 13 = 30 см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

• Площадь боковой поверхности = Периметр * Высота = 30 см * 5 см = 150 см².

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы составляет 150 см².