Задача по геометрии

Высота правильной треугольной пирамиды составляет 6 см, а боковая грань образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Как найти S полной поверхности этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Пирамиды и их поверхности геометрия 11 класс правильная треугольная пирамида высота боковая грань угол плоскость основания S полная поверхность задача по геометрии расчет площади треугольная пирамида формулы геометрии Новый

Привет, энтузиаст! Давай разберемся с этой задачей по геометрии и найдем полную поверхность правильной треугольной пирамиды!

В первую очередь, нам нужно понять, что полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади боковых граней. Давай разложим решение на шаги:

1. Найдем площадь основания:
   • Основание правильной треугольной пирамиды - это равносторонний треугольник.
   • Для нахождения его площади нам нужно знать длину стороны треугольника. Мы можем найти её, используя высоту и угол.
2. Найдем длину стороны основания:
   • Высота боковой грани (h) и угол (α) связаны между собой. У нас есть h = 6 см и α = 30 градусов.
   • Используем тригонометрию: h = (a/2) * tan(α), где a - длина стороны основания.
   • Так как tan(30 градусов) = 1/√3, можем выразить a: 6 = (a/2) * (1/√3).
   • Отсюда a = 6 * 2 * √3 = 12√3 см.
3. Теперь найдем площадь основания:
   • Площадь равностороннего треугольника S = (√3/4) * a².
   • Подставляем a: S = (√3/4) * (12√3)² = (√3/4) * 432 = 108√3 см².
4. Теперь найдем площадь боковых граней:
   • Каждая боковая грань - это равнобедренный треугольник.
   • Площадь боковой грани Sб = (1/2) * основание * высота. Основание - это сторона основания, а высота - это высота боковой грани.
   • Высота боковой грани можно найти, используя Pythagorean theorem: hб = √(h² + (a/2)²).
   • hб = √(6² + (12√3/2)²) = √(36 + 108) = √144 = 12 см.
   • Теперь Sб = (1/2) * 12√3 * 12 = 72√3 см² для одной боковой грани.
   • Так как у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней будет 3 * 72√3 = 216√3 см².
5. Наконец, найдем полную поверхность:
   • S полная = S основание + S боковые = 108√3 + 216√3 = 324√3 см².

Итак, полная поверхность правильной треугольной пирамиды составляет 324√3 см²! Ура, мы справились с задачей!