Биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересекает сторону BC в точке E, где BE составляет 4,5 см. Какова площадь этого прямоугольника?

Геометрия 7 класс Площадь прямоугольника биссектрисa угла прямоугольник ABCD сторона BC точка E длина BE площадь прямоугольника геометрия 7 класс

Для решения задачи начнем с того, что нужно понять, что такое биссектриса угла и как она ведет себя в прямоугольнике.

В прямоугольнике ABCD углы A, B, C и D равны 90 градусам. Биссектрисой угла A называется линия, которая делит угол A пополам. В нашем случае, биссектрису мы будем проводить из вершины A и она будет пересекать сторону BC в точке E.

Из условия задачи известно, что BE составляет 4,5 см. Теперь давайте рассмотрим, что это значит для остальных сторон прямоугольника:

• Пусть длина стороны AB (или CD) равна a см.
• Пусть длина стороны BC (или AD) равна b см.

Так как ABCD - это прямоугольник, то угол A равен 90 градусам. Биссектрисы углов прямоугольника имеют свойство, что они делят противоположные стороны в том же соотношении, что и длины смежных сторон.

Поскольку BE = 4,5 см, тогда мы можем найти длину EC, используя соотношение:

Так как AB и AD перпендикулярны, то:

• BE / EC = AB / AD = a / b.

Теперь обозначим EC как x. Тогда:

• BE + EC = BC, то есть 4,5 + x = b.

Таким образом, мы можем выразить x через b:

• x = b - 4,5.

Теперь подставим это значение в соотношение:

• 4,5 / (b - 4,5) = a / b.

Перемножим крест-накрест:

• 4,5b = a(b - 4,5).

Раскроем скобки:

• 4,5b = ab - 4,5a.

Теперь перенесем все в одну сторону:

• ab - 4,5a - 4,5b = 0.

Эта формула показывает связь между a и b, но для нахождения площади прямоугольника, которая равна a * b, нам нужно больше информации. Однако, мы можем выразить одну переменную через другую.

Для простоты, давайте предположим, что a = b. Это возможно, если прямоугольник является квадратом. Тогда:

• 4,5b = b(b - 4,5).
• 4,5b = b^2 - 4,5b.

Сложим 4,5b с обеих сторон:

• 9b = b^2.

Это уравнение можно решить:

• b^2 - 9b = 0.
• b(b - 9) = 0.

Отсюда получаем два решения: b = 0 или b = 9. Поскольку длина не может быть нулевой, принимаем b = 9 см. Следовательно, a также равно 9 см.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника:

• Площадь = a * b = 9 * 9 = 81 см².

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна 81 см².

Для решения задачи о нахождении площади прямоугольника ABCD, в котором биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, необходимо рассмотреть некоторые свойства прямоугольников и биссектрис.

Шаг 1: Определение свойств прямоугольника

• Прямоугольник ABCD имеет четыре прямых угла.
• Стороны AB и CD равны, а стороны BC и AD также равны.

Шаг 2: Условия задачи

• Биссектриса угла A делит угол пополам.
• Точка E является точкой пересечения биссектрисы с стороной BC, где BE = 4,5 см.

Шаг 3: Определение длины сторон

• Поскольку ABCD является прямоугольником, то угол A равен 90 градусов.
• Биссектриса угла A делит прямой угол на два равных угла по 45 градусов.
• Таким образом, треугольник ABE является равнобедренным с углами 45-45-90.
• Согласно свойствам равнобедренного треугольника, стороны, прилегающие к углам 45 градусов, равны. Это означает, что AE = AB.

Шаг 4: Применение теоремы

• В равнобедренном треугольнике ABE, где BE = 4,5 см, стороны AB и AE равны.
• Так как BE и AE образуют 45 градусов, можно использовать соотношение: BE = AB * sin(45°).
• Так как sin(45°) = √2/2, получаем: AB = BE * √2.
• Подставляем значение: AB = 4,5 * √2 ≈ 6,36 см.

Шаг 5: Найдем площадь прямоугольника

• Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: Площадь = AB * BC.
• Поскольку BC = AD, и в прямоугольнике стороны равны, можем взять BC = AB = 6,36 см.
• Следовательно, Площадь = AB * BC = 6,36 * 6,36 ≈ 40,45 см².

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD составляет примерно 40,45 см².