Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Геометрия 7 класс Площадь трапеции отрезок середины оснований трапеция равные площади доказательство геометрии Новый

Давайте докажем, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части. Для этого нам нужно рассмотреть свойства трапеции и свойства отрезка, соединяющего середины её оснований.

Шаг 1: Определим трапецию.

Пусть ABCD – трапеция, где AB и CD – её основания, а AD и BC – боковые стороны. Предположим, что AB || CD. Обозначим середины оснований:

• M – середина отрезка AB;
• N – середина отрезка CD.

Шаг 2: Найдем длину отрезка MN.

Длина отрезка MN равна полусумме длин оснований:

MN = (AB + CD) / 2.

Шаг 3: Рассмотрим высоту трапеции.

Обозначим высоту трапеции (расстояние между основаниями) как h. Теперь мы можем рассмотреть две фигуры, которые образуются, когда мы проведем отрезок MN.

Шаг 4: Найдем площади двух частей.

Отрезок MN делит трапецию на две части: верхнюю трапецию AMNB и нижнюю трапецию MCDN. Мы можем рассчитать площади этих трапеций.

Площадь трапеции рассчитывается по формуле:

Площадь = (длина первого основания + длина второго основания) * высота / 2.

Для верхней трапеции AMNB:

• Первое основание = AB;
• Второе основание = MN;

Площадь AMNB = (AB + MN) * (h/2).

Для нижней трапеции MCDN:

• Первое основание = MN;
• Второе основание = CD;

Площадь MCDN = (MN + CD) * (h/2).

Шаг 5: Сравним площади.

Теперь мы можем подставить значение MN:

MN = (AB + CD) / 2.

Подставляя это значение в формулы, мы увидим, что площади обеих трапеций равны:

• Площадь AMNB = (AB + (AB + CD) / 2) * (h/2);
• Площадь MCDN = (((AB + CD) / 2) + CD) * (h/2).

После упрощения мы увидим, что обе площади равны, и, следовательно, отрезок MN действительно делит трапецию на две равные по площади части.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части. Это свойство является важным и полезным в геометрии.