Как можно обосновать, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза превышает любой из катетов?

Геометрия 7 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник гипотенуза катеты обоснование свойства треугольников Теорема Пифагора Новый

Чтобы обосновать, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза превышает любой из катетов, давайте рассмотрим свойства прямоугольного треугольника и его стороны.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам. Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• AB — один из катетов;
• AC — другой катет;
• BC — гипотенуза.

Теперь, чтобы показать, что гипотенуза (BC) больше любого из катетов (AB и AC), воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что:

c² = a² + b²

где c — это длина гипотенузы, а a и b — длины катетов. В нашем случае:

• c = BC;
• a = AB;
• b = AC.

Теперь, если мы выразим длину гипотенузы через катеты, получим:

BC² = AB² + AC²

Теперь давайте проанализируем, что это означает:

1. Поскольку AB и AC — это положительные длины, то их квадраты также будут положительными числами.
2. Сумма двух положительных чисел (AB² + AC²) всегда будет больше, чем каждое из этих чисел по отдельности.
3. Следовательно, BC² будет больше, чем AB² и AC².

Теперь, чтобы получить длину гипотенузы BC, мы должны взять корень из BC²:

BC = √(AB² + AC²)

Так как корень из суммы двух положительных чисел (AB² + AC²) всегда будет больше, чем корень из одного из этих чисел, мы можем сделать вывод:

• BC > AB;
• BC > AC.

Таким образом, мы обосновали, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда превышает любой из катетов. Это свойство является одним из основных в геометрии и, в частности, в изучении треугольников.