Стороны АВ и АС треугольника АВС равны 17. Какова длина биссектрисы угла A треугольника АВС, если медиана, проведённая к стороне ВС, равна 8?

Геометрия 7 класс Биссектрисы треугольника длина биссектрисы треугольник ABC стороны треугольника медиана треугольника геометрия 7 класс задача по геометрии равные стороны треугольника Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник ABC, в котором стороны AB и AC равны 17, а медиана, проведённая к стороне BC, равна 8. Нам нужно найти длину биссектрисы угла A.

Сначала обозначим некоторые элементы:

• AB = AC = 17 (равные стороны треугольника)
• M - середина стороны BC
• AM - медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, равная 8

Так как AB и AC равны, треугольник ABC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой и биссектрисой.

Теперь, используя формулу для медианы, мы можем найти длину стороны BC. Формула для длины медианы AM к стороне BC выглядит так:

AM = 1/2 * √(2AB^2 + 2AC^2 - BC^2)

Подставляем известные значения:

• AM = 8
• AB = 17
• AC = 17

Подставим в формулу:

8 = 1/2 * √(2 * 17^2 + 2 * 17^2 - BC^2)

Умножим обе стороны на 2:

16 = √(2 * 17^2 + 2 * 17^2 - BC^2)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

256 = 2 * 17^2 + 2 * 17^2 - BC^2

Подсчитаем 2 * 17^2:

2 * 17^2 = 2 * 289 = 578

Теперь подставим это значение:

256 = 578 - BC^2

Переносим BC^2 на левую сторону:

BC^2 = 578 - 256 = 322

Теперь найдем BC:

BC = √322 ≈ 17.94

Теперь, когда мы знаем длину стороны BC, мы можем найти длину биссектрисы угла A. Для этого используем формулу для биссектрисы:

l = (2 * AB * AC) / (AB + AC) * cos(A/2)

Однако, так как у нас равнобедренный треугольник, можно использовать другую формулу:

l = (2 * AB * AC) / (AB + AC) * √(1 - (BC^2)/(AB + AC)^2)

Подставим известные значения:

AB = AC = 17, BC = √322

Находим:

l = (2 * 17 * 17) / (17 + 17) * √(1 - (322)/(34^2))

Считаем:

l = (578) / (34) * √(1 - (322)/(1156))

Теперь упростим:

l = 17 * √(1 - 0.278) = 17 * √(0.722)

Теперь вычисляем √(0.722) ≈ 0.849.

Итак, длина биссектрисы:

l ≈ 17 * 0.849 ≈ 14.43.

Таким образом, длина биссектрисы угла A треугольника ABC примерно равна 14.43.