Давайте разберем, как можно решить каждую из поставленных задач, используя свойства прямоугольного треугольника.

Для нахождения длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Эта теорема гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катеты равны 3 и 6.

1. Записываем формулу: c^2 = a^2 + b^2, где c — гипотенуза, a и b — катеты.
2. Подставляем значения: c^2 = 3^2 + 6^2.
3. Вычисляем: c^2 = 9 + 36 = 45.
4. Теперь находим c: c = √45 = √(9 * 5) = 3√5.

Таким образом, длина гипотенузы равна 3√5.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

1. Площадь = (1/2) * основание * высота.
2. В нашем случае основание и высота — это катеты 3 и 6.
3. Подставляем значения: Площадь = (1/2) * 3 * 6.
4. Вычисляем: Площадь = (1/2) * 18 = 9.

Таким образом, площадь треугольника равна 9 квадратных единиц.

Для нахождения высоты, проведенной на гипотенузу, можно использовать формулу:

1. h = (2 * Площадь) / c, где h — высота, Площадь — площадь треугольника, c — длина гипотенузы.
2. Мы уже знаем, что площадь равна 9, а гипотенуза равна 3√5.
3. Подставляем значения: h = (2 * 9) / (3√5).
4. Вычисляем: h = 18 / (3√5) = 6 / √5.
5. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √5: h = (6√5) / 5.

Таким образом, высота, проведенная на гипотенузу, равна (6√5) / 5.

Теперь мы разобрали все три вопроса: нашли длину гипотенузы, площадь треугольника и высоту, проведенную на гипотенузу. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь их задавать!