1. Если один из смежных углов является острым, то он меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°. Следовательно, если один угол острый, то его смежный угол должен быть больше 90°, что означает, что он будет тупым.

Ответ: в)

2. Пусть мы обозначим искомый угол как ∠1, а два смежных угла как ∠2 и ∠3. По свойству смежных углов, сумма углов равна 180°. Если сумма двух смежных углов равна 210°, то ∠1 + ∠2 = 180°, и ∠1 + ∠3 = 180°. Это значит, что ∠2 и ∠3 равны 105° (210°/2). Следовательно, искомый угол ∠1 будет равен 180° - 105° = 75°.

Ответ: 75°

3. Чтобы все углы, образованные лучами из одной точки, были острыми, необходимо учесть, что полный угол составляет 360°. Острый угол меньше 90°. Если обозначим количество углов как n, то условие будет: 360° / n < 90°. Это означает, что n должно быть больше 4, то есть минимальное количество лучей, которые можно провести из одной точки, составляет 5.

Ответ: 5

4. Периметр равнобедренного треугольника составляет 18 см, и одна из его сторон равна 6 см. Обозначим боковые стороны как x. Тогда, по формуле периметра: x + x + 6 = 18. Это упрощается до 2x + 6 = 18, что дает 2x = 12 и x = 6 см. Таким образом, если 6 см - основание, боковые стороны равны 6 см, значит, треугольник равносторонний. Если 6 см - боковая сторона, то результат остается тем же.

Ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.

5. Углы 1 и 2 равны 135° и 45° соответственно. Эти углы являются внутренними односторонними при пересечении прямых m и n секущей a. Поскольку их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°),это указывает на то, что прямые m и n параллельны.

Ответ: б)

6. Рассмотрим треугольник, где сумма двух углов меньше третьего. Сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. Если ∠1 + ∠2 < ∠3, это значит, что ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3. Подставляя в неравенство, получаем: 180° - ∠3 < ∠3, следовательно, 2∠3 > 180°, что означает, что ∠3 > 90°. Таким образом, треугольник будет тупоугольным.

Ответ: в)

7. Углы треугольника относятся как 1:1:2. Пусть меньший угол равен x, тогда большие углы будут равны x и 2x. Сумма углов треугольника равна 180°: x + x + 2x = 180°. Это дает 4x = 180°, следовательно, x = 45°. Таким образом, углы треугольника составляют 45°, 45° и 90°, что делает его прямоугольным и равнобедренным.

Ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.

8. Для того чтобы образовать треугольник из отрезков, длины которых равны 1 см, 2 см, 3 см, 4 см и 5 см, необходимо помнить, что любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других. Проверяя все возможные комбинации, удается определить, что треугольники могут образовываться только из отрезков 2, 3, 4 и 3, 4, 5. Таким образом, получается 2 различных треугольника.

Ответ: 2 треугольника.

Часть В.

1. Если в треугольнике медиана BD является биссектрисой, значит, треугольник равнобедренный. Периметр треугольника ABD равен 16 см, а длина медианы BD равна 5 см. Суммируя стороны, получаем AB + AD = 16 - 5 = 13 см. Поскольку BC = AB и CD = AD, периметр треугольника ABC будет равен 2(AB + AD) = 2 * 13 = 26 см.

Ответ: периметр треугольника ABC составляет 26 см.

2. Если медиана BM перпендикулярна биссектрисе AD, это значит, что треугольник ABC имеет определенные свойства. Поскольку BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 12/2 = 6 см. В треугольнике ABM, где AO - биссектрисa и высота, это делает треугольник равнобедренным, следовательно, AB = AM = 6 см.

Ответ: AB = 6 см.

3. В прямоугольном треугольнике ACB сумма острых углов равна 90°. Обозначим угол A как ∠1 и угол B как ∠2. Угол AOB будет равен 180° - (∠1 + ∠2). Поскольку ∠1 + ∠2 = 90°, то ∠AOB = 180° - 90° = 90°.

Ответ: угол AOB равен 90°.

4. В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Если угол BAD равен углу BCD = 15°, то оставшиеся углы DAC и DCA будут равны 60° - 15° = 45°. Следовательно, угол ADC будет равен 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°.

Ответ: угол ADC равен 90°.

5. Если биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O, и дан угол AOE = 50°, то это означает, что угол AOE является внешним углом треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: ∠AOE = ∠1 + ∠2. Поскольку AD и BE - биссектрисы, сумма углов A и B треугольника ABC будет в два раза больше, то есть ∠A + ∠B = 2 * ∠AOE = 100°. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, угол C равен 80°.

Ответ: угол C равен 80°.

6. В треугольнике ABC на медиане BD отмечена точка O, такая, что углы CAO и OSA равны. Поскольку расстояние от точки O до стороны AB равно 8 см, а до стороны AC равно 5 см, можно провести перпендикуляры от точки O к сторонам. Известно, что BD является и медианой, и высотой, это значит, что треугольник ABC тоже равнобедренный. Расстояние от точки O до стороны BC будет равно 8 см, так как все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.

Ответ: расстояние от точки O до стороны BC равно 8 см.