1. Как найти тангенс угла а, если косинус этого угла равен 2√5/5?

Для нахождения тангенса угла а, когда известен его косинус, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Тангенс угла а определяется как отношение синуса к косинусу:

tg(a) = sin(a) / cos(a)

Сначала найдем синус угла а. Мы знаем, что:

sin²(a) + cos²(a) = 1

Подставим известное значение косинуса:

1. cos²(a) = (2√5/5)² = 4 * 5 / 25 = 20 / 25 = 0.8
2. Теперь подставим в уравнение: sin²(a) + 0.8 = 1.
3. Следовательно, sin²(a) = 1 - 0.8 = 0.2.
4. Теперь найдем синус: sin(a) = √0.2 = √(2/10) = √2 / √10 = √2 / (√2 * √5) = 1 / √5.

Теперь можем найти тангенс:

tg(a) = sin(a) / cos(a) = (1 / √5) / (2√5 / 5) = (1 / √5) * (5 / 2√5) = 5 / 10 = 1 / 2.

2. Как определить синус, косинус и тангенс углов А и В в треугольнике АВС с прямым углом С, если длины сторон ВС = 8 см и АВ = 10 дм?

Сначала преобразуем длину стороны АВ в сантиметры: 10 дм = 100 см.

Теперь мы знаем, что:

• Сторона ВС = 8 см (катет),
• Сторона АВ = 100 см (гипотенуза).

Найдем длину второго катета AC с помощью теоремы Пифагора:

AB² = AC² + BC².

100² = AC² + 8².

1. 10000 = AC² + 64.
2. AC² = 10000 - 64 = 9936.
3. AC = √9936 ≈ 99.68 см.

Теперь можем найти синус, косинус и тангенс углов A и B:

• sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза = AC / AB = 99.68 / 100 ≈ 0.9968.
• cos(A) = прилежащий катет / гипотенуза = BC / AB = 8 / 100 = 0.08.
• tg(A) = sin(A) / cos(A) = (99.68 / 100) / (8 / 100) = 99.68 / 8 ≈ 12.46.

Для угла B:

• sin(B) = противолежащий катет / гипотенуза = BC / AB = 8 / 100 = 0.08.
• cos(B) = прилежащий катет / гипотенуза = AC / AB = 99.68 / 100 ≈ 0.9968.
• tg(B) = sin(B) / cos(B) = (8 / 100) / (99.68 / 100) = 8 / 99.68 ≈ 0.0804.

3. В прямоугольном треугольнике один катет равен 12 см, а косинус угла, противоположного этому катету, равен 0,4. Как найти гипотенузу, второй катет и площадь этого треугольника?

Обозначим катет, равный 12 см, как a. Косинус угла, противоположного этому катету, равен 0,4, что соответствует углу, прилежащему к другому катету b и гипотенузе c.

Косинус определяется как:

cos(угол) = прилежащий катет / гипотенуза.

Таким образом, мы можем записать:

0,4 = b / c.

Отсюда следует, что b = 0,4c.

Теперь применим теорему Пифагора:

a² + b² = c².

Подставим значения:

12² + (0,4c)² = c².

1. 144 + 0,16c² = c².
2. 144 = c² - 0,16c².
3. 144 = 0,84c².
4. c² = 144 / 0,84 ≈ 171.43.
5. c ≈ √171.43 ≈ 13.09 см.

Теперь найдем второй катет b:

b = 0,4c ≈ 0,4 * 13.09 ≈ 5.24 см.

Теперь найдем площадь треугольника:

Площадь = (1/2) * a * b = (1/2) * 12 * 5.24 ≈ 31.44 см².

4. Как найти гипотенузу, синус и косинус острых углов прямоугольного треугольника, если длины его катетов равны 20 см и 21 см?

Обозначим катеты как a = 20 см и b = 21 см. Найдем гипотенузу c с помощью теоремы Пифагора:

c² = a² + b².

1. c² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841.
2. c = √841 = 29 см.

Теперь найдем синус и косинус острых углов:

Для угла A (противолежащий катет a):

• sin(A) = a / c = 20 / 29.
• cos(A) = b / c = 21 / 29.

Для угла B (противолежащий катет b):

• sin(B) = b / c = 21 / 29.
• cos(B) = a / c = 20 / 29.

Таким образом, мы нашли гипотенузу и значения синусов и косинусов углов A и B.