1) В прямоугольном треугольнике отношение гипотенузы к катету составляет 5:3. Какой будет периметр треугольника, если длина второго катета равна 12 см?

2) Медиана, проведенная к основанию a равнобедренного треугольника, имеет длину 12 см, а боковая сторона равна 13 см. Как можно вычислить периметр и площадь этого треугольника?

3) Как можно доказать, что треугольник является прямоугольным, если его стороны пропорциональны числам 7, 24 и 25?

Геометрия 8 класс Треугольники периметр треугольника прямоугольный треугольник длина катетов медиана треугольника площадь треугольника доказательство прямоугольного треугольника пропорциональные стороны равнобедренный треугольник Новый

1) Решение задачи о периметре прямоугольного треугольника:

Дано: отношение гипотенузы к катету составляет 5:3, а длина второго катета равна 12 см. Обозначим:

• гипотенузу - c
• первый катет - a
• второй катет - b

Согласно условию, мы можем записать:

• c/a = 5/3
• b = 12 см

Найдем длину гипотенузы и первого катета. Из отношения c/a = 5/3 можно выразить c через a:

• c = (5/3) * a

Теперь применим теорему Пифагора:

• c^2 = a^2 + b^2

Подставим значения:

• ((5/3) * a)^2 = a^2 + 12^2
• (25/9) * a^2 = a^2 + 144

Умножим уравнение на 9 для избавления от дробей:

• 25a^2 = 9a^2 + 1296

Переносим все в одну сторону:

• 25a^2 - 9a^2 = 1296
• 16a^2 = 1296
• a^2 = 81
• a = 9 см

Теперь найдем гипотенузу:

• c = (5/3) * 9 = 15 см

Теперь можем найти периметр треугольника:

• P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 см

Ответ: Периметр треугольника равен 36 см.

2) Решение задачи о периметре и площади равнобедренного треугольника:

Дано: длина медианы к основанию a равна 12 см, боковая сторона равна 13 см. Обозначим:

• длину боковой стороны - c = 13 см
• длину медианы - m = 12 см

Сначала найдем основание a. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, делит его пополам. Обозначим половину основания как x:

• x = a/2

Теперь применим теорему о медиане:

• m^2 = (a/2)^2 + c^2 - 2 * (a/2) * c * cos(α)

Для упрощения будем использовать формулу для медианы:

• m^2 = (2c^2 + 2c^2 - a^2)/4

Подставим известные значения:

• 12^2 = (2 * 13^2 + 2 * 13^2 - a^2)/4
• 144 = (2 * 169 + 2 * 169 - a^2)/4
• 144 * 4 = 338 - a^2
• 576 = 338 - a^2
• a^2 = 338 - 576
• a^2 = -238 (ошибка в расчетах)

Находим основание другим способом, используя теорему Пифагора:

• h^2 + (a/2)^2 = c^2

Так как h = 12 см:

• 12^2 + (a/2)^2 = 13^2
• 144 + (a/2)^2 = 169
• (a/2)^2 = 25
• a/2 = 5
• a = 10 см

Теперь можем найти периметр:

• P = a + 2c = 10 + 2 * 13 = 36 см

Теперь найдем площадь треугольника:

• S = (a * h) / 2 = (10 * 12) / 2 = 60 см²

Ответ: Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, площадь равна 60 см².

3) Доказательство, что треугольник является прямоугольным:

Дано: стороны треугольника пропорциональны числам 7, 24 и 25. Обозначим:

• a = 7k
• b = 24k
• c = 25k

Для доказательства прямоугольности воспользуемся теоремой Пифагора:

• c^2 = a^2 + b^2

Подставим наши значения:

• (25k)^2 = (7k)^2 + (24k)^2
• 625k^2 = 49k^2 + 576k^2
• 625k^2 = 625k^2

Уравнение верно, следовательно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора.

1 2 3 4 5