Решение задачи 1:

Для начала, давайте определим, что такое подобные треугольники. Два треугольника подобны, если их соответствующие стороны пропорциональны. В данной задаче у нас есть треугольник со сторонами 1.5 см, 2 см и 3 см, и мы хотим найти стороны подобного треугольника с периметром 26 см.

1. Сначала найдем периметр исходного треугольника:

• Периметр = 1.5 см + 2 см + 3 см = 6.5 см

2. Теперь найдем коэффициент подобия. Для этого нужно разделить периметр нового треугольника на периметр исходного:

• Коэффициент подобия = Периметр нового треугольника / Периметр исходного треугольника = 26 см / 6.5 см = 4

3. Теперь мы можем найти стороны нового треугольника, умножив каждую сторону исходного треугольника на коэффициент подобия:

• Первая сторона: 1.5 см * 4 = 6 см
• Вторая сторона: 2 см * 4 = 8 см
• Третья сторона: 3 см * 4 = 12 см

Таким образом, стороны подобного треугольника равны 6 см, 8 см и 12 см.

Решение задачи 2:

В этой задаче у нас есть два треугольника, и нам нужно найти стороны треугольника A1B1C1, используя отношение сторон BC и B1C1.

1. Известно, что отношение сторон BC и B1C1 равно 3:4. Это значит, что если мы обозначим длину стороны B1C1 как x, то:

• BC / B1C1 = 3 / 4
• 12 см / x = 3 / 4

2. Теперь найдем x:

• 12 см * 4 = 3 * x
• 48 см = 3x
• x = 48 см / 3 = 16 см

3. Теперь, зная, что B1C1 = 16 см, мы можем найти другие стороны треугольника A1B1C1. Поскольку треугольники подобны, то стороны A1B1 и A1C1 будут пропорциональны AВ и АС соответственно.

4. Найдем коэффициент подобия:

• Коэффициент подобия = B1C1 / BC = 16 см / 12 см = 4 / 3

5. Теперь можем найти стороны A1B1 и A1C1:

• A1B1 = AВ * (4 / 3) = 9 см * (4 / 3) = 12 см
• A1C1 = AС * (4 / 3) = 15 см * (4 / 3) = 20 см

Таким образом, стороны треугольника A1B1C1 равны 12 см, 16 см и 20 см.

Решение задачи 3:

В этой задаче мы должны доказать, что треугольник ACD подобен треугольнику CBD, и найти высоту CD.

1. В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу AB на две части AD и BD. Это значит, что треугольники ACD и CBD имеют общий угол C и угол ACD равен углу CBD, так как они оба являются углами при высоте.

2. По критерию подобия треугольников (по двум углам) треугольник ACD подобен треугольнику CBD.

3. Теперь найдем высоту CD. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:

• Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * CD
• Площадь треугольника ABC также равна (1/2) * AC * BC

4. Сначала найдем длину гипотенузы AB:

• AB = AD + BD = 16 см + 9 см = 25 см

5. Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

• Площадь = (1/2) * 16 см * 9 см = 72 см²

6. Теперь подставим в формулу для площади:

• 72 см² = (1/2) * 25 см * CD

7. Перемножим и найдем CD:

• 72 см² = 12.5 см * CD
• CD = 72 см² / 12.5 см = 5.76 см

Таким образом, высота CD равна 5.76 см.

Решение задачи 4:

В этой задаче нам нужно доказать, что отрезок MN параллелен стороне AB треугольника ABC.

1. У нас есть треугольник ABC, и точки M и N находятся на сторонах AC и BC соответственно. Мы знаем длины отрезков AC, BC, CM и CN.

2. Чтобы доказать, что MN параллельно AB, воспользуемся признаком о пропорциональности отрезков, который гласит, что если отрезки, соединяющие две стороны треугольника, делят эти стороны пропорционально, то такие отрезки параллельны.

3. Сначала найдем пропорции:

• Пропорция для AC: CM / AC = 12 см / 16 см = 3 / 4
• Пропорция для BC: CN / BC = 9 см / 12 см = 3 / 4

4. Поскольку обе пропорции равны (3 / 4), мы можем сделать вывод, что отрезок MN параллелен стороне AB по признаку о пропорциональности отрезков.

Таким образом, мы доказали, что MN параллельно AB.