Докажите, что медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, разделяет его на два равнобедренных треугольника.

Геометрия 8 класс Медианы и их свойства в треугольниках медиана гипотенуза прямоугольный треугольник равнобедренные треугольники доказательство медианы Новый

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым (90 градусов), а AB - гипотенуза. Мы обозначим точку D как середину отрезка AB. Наша задача - доказать, что медиана CD, проведенная к гипотенузе AB, разделяет треугольник ABC на два равнобедренных треугольника.

Для этого нам нужно показать, что треугольники ACD и BCD равны по двум сторонам и углу между ними. Мы будем использовать следующие шаги:

1. Определим длины сторон: Поскольку D - середина отрезка AB, то отрезки AD и DB равны. Обозначим их длину как x. Таким образом, AD = DB = x.
2. Используем свойства медианы: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть CD = 1/2 * AB.
3. Проверим равенство треугольников: Теперь мы можем рассмотреть треугольники ACD и BCD. У нас есть:
   • AD = DB (по определению точки D как середины отрезка AB)
   • CD = CD (общая сторона для обоих треугольников)
   • Угол ACD = угол BCD (так как угол C - прямой, и оба треугольника имеют одинаковый угол C)
4. Применим признак равенства треугольников: Мы имеем равенство двух сторон и угол между ними для треугольников ACD и BCD. Это означает, что треугольники ACD и BCD равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников по стороне-углу-стороне).
5. Заключение: Следовательно, треугольники ACD и BCD равны, что доказывает, что медиана CD делит треугольник ABC на два равнобедренных треугольника.

Таким образом, мы доказали, что медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, действительно разделяет его на два равнобедренных треугольника.