В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Как можно доказать обратное утверждение, при этом используя рисунок?

Геометрия 8 класс Медианы и их свойства в треугольниках прямоугольный треугольник медиана гипотенуза обратное утверждение доказательство геометрия 8 класс рисунок свойства треугольников Новый

Для доказательства обратного утверждения, что если медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, то треугольник является прямоугольным, мы можем воспользоваться свойствами треугольников и медиан.

Давайте рассмотрим следующий алгоритм:

1. Построим прямоугольный треугольник ABC: Пусть A, B и C - это вершины треугольника, где угол C - прямой. Обозначим гипотенузу AB, а медиану, проведенную к гипотенузе, - это отрезок CM, где M - середина отрезка AB.
2. Установим условие: Предположим, что длина медианы CM равна половине длины гипотенузы AB. Это можно записать как CM = 1/2 * AB.
3. Используем формулу для длины медианы: В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, вычисляется по формуле: CM = (1/2) * sqrt(2AC^2 + 2BC^2 - AB^2). Но в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора мы знаем, что AB^2 = AC^2 + BC^2.
4. Подставим в формулу: Подставляем в формулу для медианы значение AB^2:
   • CM = (1/2) * sqrt(2AC^2 + 2BC^2 - (AC^2 + BC^2))
   • CM = (1/2) * sqrt(AC^2 + BC^2)
5. Сравниваем с условием: Теперь, если мы знаем, что CM = 1/2 * AB, то подставляем AB = sqrt(AC^2 + BC^2):
   • CM = (1/2) * sqrt(AC^2 + BC^2)
6. Сравниваем обе стороны: Мы видим, что обе стороны равны, что подтверждает, что треугольник ABC является прямоугольным.

Таким образом, мы доказали обратное утверждение: если медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то треугольник является прямоугольным.