В треугольнике ABC угол C составляет 90 градусов, угол B равен 60 градусам, а длина стороны BC равна 8. Как найти длину медианы AM?

Геометрия 8 класс Медианы и их свойства в треугольниках треугольник ABC угол C 90 градусов угол B 60 градусов длина стороны BC 8 длина медианы AM геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти длину медианы AM в треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусам, угол B равен 60 градусам, а длина стороны BC равна 8, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.

В треугольнике ABC угол C - прямой, значит, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Мы знаем, что:

• Угол A = 90 - угол B = 90 - 60 = 30 градусов.
• Сторона BC (противоположная углу A) равна 8.

Теперь найдем длину стороны AB (гипотенузы) и AC (прилежащей стороны к углу B) с помощью тригонометрических соотношений:

Шаг 2: Используем соотношения в прямоугольном треугольнике.

• Сторона AC (прилежащая к углу B) можно найти по формуле: AC = BC * cos(B). Поскольку угол B равен 60 градусам, получаем:
• AC = 8 * cos(60) = 8 * 0.5 = 4.
• Сторона AB (гипотенуза) можно найти по формуле: AB = BC / sin(B). Поскольку угол B равен 60 градусам, получаем:
• AB = 8 / sin(60) = 8 / (√3/2) = 8 * 2/√3 = 16/√3.

Шаг 3: Находим длину медианы AM.

Теперь, когда мы знаем длины сторон, можем найти длину медианы AM. Медиана в треугольнике, проведенная из вершины к середине противоположной стороны, можно найти по формуле:

AM = 0.5 * √(2AB² + 2AC² - BC²).

Подставляем известные значения:

• AB = 16/√3, AC = 4, BC = 8.
• Сначала найдем AB² и AC²:
• AB² = (16/√3)² = 256/3.
• AC² = 4² = 16.
• BC² = 8² = 64.

Шаг 4: Подставляем значения в формулу медианы:

AM = 0.5 * √(2 * (256/3) + 2 * 16 - 64).

Шаг 5: Упрощаем выражение:

• 2 * (256/3) = 512/3.
• 2 * 16 = 32.
• Теперь у нас есть: AM = 0.5 * √((512/3) + 32 - 64).
• 32 - 64 = -32, так что AM = 0.5 * √((512/3) - 32).

Шаг 6: Приводим к общему знаменателю:

• -32 = -96/3, следовательно, AM = 0.5 * √((512 - 96)/3) = 0.5 * √(416/3).

Шаг 7: Находим окончательный ответ:

AM = 0.5 * (√416)/√3 = √(104)/√3.

Таким образом, длина медианы AM равна √(104)/√3.