Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, которая проходит через эту точку и центр окружности.

Геометрия 8 класс Касательные к окружности геометрия 8 класс отрезки касательных окружность доказательство равные отрезки Углы прямая центр окружности свойства касательных теоремы геометрические доказательства Новый

Для доказательства утверждения о равенстве отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки, и о равенстве углов, которые они образуют с прямой, соединяющей эту точку с центром окружности, мы можем воспользоваться свойствами касательных и треугольников.

Шаг 1: Обозначим элементы задачи

• Пусть O - центр окружности.
• P - точка вне окружности.
• A и B - точки касания касательных, проведённых из точки P к окружности.
• PA и PB - отрезки касательных, проведённые из точки P к точкам A и B соответственно.

Шаг 2: Доказательство равенства отрезков PA и PB

По определению касательной, она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Это значит, что:

• OA перпендикулярно PA, т.е. угол OAP равен 90 градусам.
• OB перпендикулярно PB, т.е. угол OBP равен 90 градусам.

Теперь рассмотрим треугольники OAP и OBP:

• У них есть общий угол при точке P (угол APB).
• OA = OB (радиусы окружности равны).
• Угол OAP = угол OBP = 90 градусов (по свойству касательных).

По признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними) мы можем утверждать, что:

Треугольник OAP равен треугольнику OBP, следовательно, отрезки PA и PB равны:

PA = PB.

Шаг 3: Доказательство равенства углов

Теперь докажем, что углы, которые касательные PA и PB образуют с прямой OP, равны.

Углы OAP и OBP, которые равны 90 градусов, и угол APB - это внешний угол для треугольника OAP и OBP, соответственно.

Поскольку треугольники OAP и OBP равны, то углы APB и OBP также равны:

Угол APB = угол OBP.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что отрезки касательных PA и PB, проведённых из одной точки P к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности O.