Докажите, что в треугольнике медиана, проведенная из одной вершины, по величине не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Геометрия 8 класс Медианы и высоты треугольника медиана треугольника высота треугольника доказательство геометрии свойства медиан треугольник и медиана геометрические доказательства Новый

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где мы проведем медиану AD из вершины A к стороне BC и высоту AH из той же вершины A к стороне BC. Нам нужно доказать, что длина медианы AD не меньше длины высоты AH.

Для начала напомним, что медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В нашем случае D – это середина отрезка BC. Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону, т.е. AH перпендикулярен BC.

Шаг 1: Обозначим длины отрезков

• Обозначим длину отрезка AH как h (высота).
• Обозначим длину отрезка AD как m (медиана).
• Обозначим длины отрезков AB и AC как c и b соответственно.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники

Теперь мы можем рассмотреть два треугольника: треугольник ABD и треугольник ACD. Эти треугольники имеют общую вершину A и основание BD и CD соответственно.

Шаг 3: Используем теорему о площади треугольника

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

• Через высоту: площадь треугольника ABD равна 1/2 * AB * AH = 1/2 * c * h.
• Через медиану: площадь треугольника ABD также равна 1/2 * AD * BD = 1/2 * m * (1/2 * BC) = 1/4 * m * BC.

Шаг 4: Связь между медианой и высотой

Так как D – середина отрезка BC, то BD = DC и BC = 2 * BD. Таким образом, площадь треугольника ABD можно выразить как:

• Площадь ABD = 1/4 * m * BC = 1/4 * m * 2 * BD = 1/2 * m * BD.

Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника ABD:

• 1/2 * c * h = 1/2 * m * BD.

Шаг 5: Сравнение высоты и медианы

Из этого равенства следует, что:

• c * h = m * BD.

Так как BD – это положительная величина, мы можем разделить обе стороны на BD:

• h = (m * BD) / c.

Это указывает на то, что h зависит от величины m и c. Если мы предположим, что c (длина стороны AB) не меньше длины высоты AH, то мы можем заключить, что:

• m >= h.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике медиана, проведенная из одной вершины, по величине не меньше высоты, проведённой из той же вершины. Это свойство является важным в геометрии и помогает лучше понять отношения между элементами треугольника.