Докажите, применяя метод от противного, что если стороны AB и BC треугольника ABC различны, то медиана BD не может являться высотой данного треугольника.

Геометрия 8 класс Медианы и высоты треугольника медиана BD высота треугольника треугольник ABC метод от противного стороны треугольника доказательство геометрии Новый

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся методом от противного. Начнем с предположения, что медиана BD является высотой треугольника ABC.

Шаг 1: Определение медианы и высоты

• Медиана BD треугольника ABC - это отрезок, соединяющий вершину B с серединой стороны AC.
• Высота BD треугольника ABC - это перпендикуляр, опущенный из вершины B на сторону AC.

Шаг 2: Предположение

Предположим, что медиана BD является высотой. Это значит, что точка D, где медиана пересекает сторону AC, является перпендикулярной проекцией точки B на сторону AC.

Шаг 3: Свойства треугольника

• Так как D - середина стороны AC, то отрезки AD и DC равны: AD = DC.
• Так как BD - высота, то угол BDA равен 90 градусам (угол прямой).
• Аналогично, угол BDC также равен 90 градусам.

Шаг 4: Применение теоремы о прямоугольном треугольнике

Теперь, рассмотрим треугольники ABD и BDC. Оба этих треугольника имеют:

• Общий катет BD.
• Катет AD равен катету DC (так как D - середина AC).
• Углы BDA и BDC равны 90 градусам.

Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему углу) треугольники ABD и BDC равны. Это означает, что:

AB = BC.

Шаг 5: Противоречие

Однако, мы изначально предположили, что стороны AB и BC треугольника ABC различны. Это приводит к противоречию, так как мы пришли к выводу, что AB равно BC.

Шаг 6: Заключение

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что медиана BD является высотой, неверно. Следовательно, если стороны AB и BC треугольника ABC различны, то медиана BD не может являться высотой данного треугольника.