Если известно, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность, и продолжения сторон AB и CD этого четырехугольника пересекаются в точке M, то как можно доказать, что треугольники MBC и MDA подобны?

Геометрия 8 класс Подобие треугольников четырехугольник ABCD окружность вокруг четырехугольника подобие треугольников треугольники MBC и MDA пересечение сторон четырехугольника доказательство подобия треугольников Новый

Чтобы доказать, что треугольники MBC и MDA подобны, мы воспользуемся свойствами углов и свойствами четырехугольника, описанного вокруг окружности. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам в этом доказательстве.

1. Определение углов: Поскольку четырехугольник ABCD описан около окружности, то его противолежащие углы равны. Это означает, что:
• Угол A + Угол C = 180 градусов
• Угол B + Угол D = 180 градусов
2. Обозначим углы: Обозначим угол MBC как α, угол MDA как β. Мы должны показать, что угол MBC равен углу MDA. Для этого рассмотрим следующие углы:
• Угол MAB = Угол D (по свойству четырехугольника)
• Угол MCD = Угол B (по тому же свойству)
3. Используем свойства углов: Теперь мы можем записать:
• Угол MBC = Угол MAB + Угол ABC = Угол D + Угол ABC
• Угол MDA = Угол MAD + Угол A = Угол B + Угол A
4. Сравниваем углы: Поскольку угол A + угол C = 180 градусов, то можно записать:
• Угол MBC = Угол D + Угол ABC = 180 - Угол C + Угол ABC = Угол B
• Угол MDA = Угол B + Угол A = 180 - Угол D + Угол A = Угол D
5. Выводим равенство углов: Таким образом, мы имеем:
• Угол MBC = Угол D
• Угол MDA = Угол B
6. Проверяем пропорциональность: Теперь, когда мы знаем, что угол MBC равен углу MDA, нам нужно также проверить, что угол MCB равен углу MAD. Это также можно доказать аналогично, используя свойства углов четырехугольника.
7. Делаем вывод о подобии: Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, мы можем заключить, что треугольники MBC и MDA подобны по двум углам (по признаку углового подобия).

Таким образом, мы доказали, что треугольники MBC и MDA подобны.