Для решения этой задачи мы будем использовать свойства пересекающихся хорд в круге. Основное свойство, которое нам необходимо, гласит, что если две хорды пересекаются в точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Давайте обозначим отрезки:

• ME = 8 см
• NE = 9 см
• PT = 18 см

Сначала найдем длину хорды MN. Она состоит из отрезков ME и NE:

Теперь давайте обозначим отрезки, на которые точка K делит хорду PT:

• PK = x см
• KT = (18 - x) см

По свойству пересекающихся хорд у нас есть равенство:

Подставим известные значения:

Теперь посчитаем произведение:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону уравнения:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Теперь найдем корни уравнения:

Это дает нам два возможных значения:

• x₁ = (18 + 6) / 2 = 24 / 2 = 12 см
• x₂ = (18 - 6) / 2 = 12 / 2 = 6 см

Теперь мы имеем два возможных отрезка PK: 12 см и 6 см. Соответственно, длины отрезков KT будут равны:

• KT при PK = 12 см: KT = 18 - 12 = 6 см
• KT при PK = 6 см: KT = 18 - 6 = 12 см

Таким образом, точка K делит отрезок PT в отношении 2:1 или 1:2, в зависимости от того, какой отрезок мы рассматриваем.

В итоге, точка K делит отрезок PT в отношении 2:1.