К двум окружностям с центрами в точках О1 и О2, которые касаются внешним образом в точке А, проведена общая касательная ВС (где В и С - точки касания). Как можно доказать, что угол ВАС является прямым?

Геометрия 8 класс Окружности и касательные геометрия 8 класс окружности касательная угол ВАС доказательство внешние касания свойства окружностей геометрические доказательства Углы точки касания Новый

Чтобы доказать, что угол ВАС является прямым, воспользуемся свойствами касательных и окружностей. Рассмотрим шаги, которые помогут нам прийти к нужному выводу:

1. Определение касательной: Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Это значит, что:
• Радиус О1В перпендикулярен касательной ВС в точке В.
• Радиус О2С перпендикулярен касательной ВС в точке С.
2. Обозначим углы: Обозначим угол О1ВА как α и угол О2СА как β.
3. Свойство внешнего касания: Поскольку окружности касаются внешним образом, то точки О1, О2 и A лежат на одной прямой. Это значит, что:
• Угол O1AB и угол O2AC являются смежными.
4. Сумма углов: Угол O1AB + O2AC = 180°, так как они образуют прямую линию.
5. Перпендикулярность: Учитывая, что O1B перпендикулярен BC и O2C также перпендикулярен BC, мы можем записать:
• α + 90° + β + 90° = 180°.
6. Упрощение: Упрощая уравнение, получаем:
• α + β + 180° = 180°.
7. Заключение: Это означает, что угол ВАС равен 90°, то есть угол ВАС является прямым.

Таким образом, мы доказали, что угол ВАС действительно является прямым, используя свойства касательных и окружностей.