Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, если медиана AM равна половине стороны BC, мы будем использовать некоторые свойства треугольников и медиан.

Давайте обозначим:

• A, B, C - вершины треугольника;
• M - середина стороны BC;
• AM - медиана, проведенная из вершины A к стороне BC.

По условию, медиана AM равна половине стороны BC. Обозначим длину стороны BC как a. Тогда:

AM = a/2.

Теперь воспользуемся теоремой о медианах в треугольнике. Согласно этой теореме, длина медианы AM в треугольнике ABC может быть найдена по формуле:

AM = 1/2 * √(2AB^2 + 2AC^2 - BC^2).

Подставим в эту формулу значение AM, которое равно a/2:

a/2 = 1/2 * √(2AB^2 + 2AC^2 - a^2).

Умножим обе стороны уравнения на 2:

a = √(2AB^2 + 2AC^2 - a^2).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

a^2 = 2AB^2 + 2AC^2 - a^2.

Переносим a^2 в левую часть:

2a^2 = 2AB^2 + 2AC^2.

Разделим обе стороны на 2:

a^2 = AB^2 + AC^2.

Это равенство соответствует теореме Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, мы можем сделать вывод:

Треугольник ABC является прямоугольным.

Таким образом, мы доказали, что если медиана AM равна половине стороны BC, то треугольник ABC является прямоугольным.