Вопрос: Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Прямая BM пересекает основание AC в точке N. Каков угол ∡CNM?

Геометрия 8 класс Треугольники и их свойства геометрия 8 класс равнобедренный треугольник высоты треугольник ABC точка M прямая BM основание AC угол CNM пересечение высот свойства треугольника углы треугольника геометрические задачи решение задач по геометрии Новый

Чтобы найти угол ∡CNM в равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC, мы будем использовать свойства высот и углы, образуемые этими высотами.

Рассмотрим треугольник ABC, где высоты, проведённые к боковым сторонам AB и BC, пересекаются в точке M. Это означает, что:

• Высота из точки B к стороне AC будет перпендикулярна к AC.
• Высота из точки A к стороне BC будет перпендикулярна к BC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, то есть ∡ABC = ∡ACB. Обозначим угол при вершине A как α, тогда:

• ∡ABC = ∡ACB = (180° - α) / 2.

Теперь, так как BM - это прямая, соединяющая вершину B с точкой M, и высота BM пересекает основание AC в точке N, мы можем рассмотреть угол CNM. Поскольку BM - это высота, то угол ∡BMN равен 90°. Также угол ∡CNB будет равен (180° - (∡ABC + ∡ACB)), так как на прямой AC угол CNB и угол ABC являются смежными.

Таким образом, угол ∡CNM можно выразить через углы CNB и BMN:

• ∡CNM = ∡CNB - ∡BMN.

Так как ∡BMN = 90°, то:

• ∡CNM = ∡CNB - 90°.

Теперь подставим значение угла ∡CNB. Учитывая, что ∡CNB = (180° - α) / 2, мы можем записать:

• ∡CNM = ((180° - α) / 2) - 90°.

Упрощая это выражение, получаем:

• ∡CNM = (180° - α - 180°) / 2 = -α / 2.

Таким образом, угол ∡CNM равен половине угла α с отрицательным знаком, что говорит о том, что ∡CNM является внешним углом для треугольника, и его можно считать равным 90° - (α / 2).

В итоге, угол ∡CNM равен 90° - (α / 2), где α - угол при вершине A треугольника ABC.