Вопрос: Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Прямая BM пересекает основание AC в точке N. Каков угол ∡CNM?
Геометрия8 классТреугольники и их свойствагеометрия8 классравнобедренный треугольниквысотытреугольник ABCточка Mпрямая BMоснование ACугол CNMпересечение высотсвойства треугольникауглы треугольникагеометрические задачирешение задач по геометрии
Чтобы найти угол ∡CNM в равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC, мы будем использовать свойства высот и углы, образуемые этими высотами.
Рассмотрим треугольник ABC, где высоты, проведённые к боковым сторонам AB и BC, пересекаются в точке M. Это означает, что:
Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, то есть ∡ABC = ∡ACB. Обозначим угол при вершине A как α, тогда:
Теперь, так как BM - это прямая, соединяющая вершину B с точкой M, и высота BM пересекает основание AC в точке N, мы можем рассмотреть угол CNM. Поскольку BM - это высота, то угол ∡BMN равен 90°. Также угол ∡CNB будет равен (180° - (∡ABC + ∡ACB)),так как на прямой AC угол CNB и угол ABC являются смежными.
Таким образом, угол ∡CNM можно выразить через углы CNB и BMN:
Так как ∡BMN = 90°, то:
Теперь подставим значение угла ∡CNB. Учитывая, что ∡CNB = (180° - α) / 2, мы можем записать:
Упрощая это выражение, получаем:
Таким образом, угол ∡CNM равен половине угла α с отрицательным знаком, что говорит о том, что ∡CNM является внешним углом для треугольника, и его можно считать равным 90° - (α / 2).
В итоге, угол ∡CNM равен 90° - (α / 2),где α - угол при вершине A треугольника ABC.