Как можно доказать, что окружность, построенная на одной из сторон равностороннего треугольника в качестве диаметра, проходит через середины двух других сторон этого треугольника?

Геометрия 8 класс Окружности и треугольники доказательство окружности равносторонний треугольник середины сторон геометрические свойства окружность и треугольник Новый

Для доказательства того, что окружность, построенная на одной из сторон равностороннего треугольника в качестве диаметра, проходит через середины двух других сторон, мы можем воспользоваться свойствами равностороннего треугольника и теорией о свойствах окружности.

Обозначим равносторонний треугольник ABC, где AB = BC = CA. Пусть мы построим окружность с диаметром AB. Обозначим середины сторон AC и BC как точки M и N соответственно. Нам нужно доказать, что точки M и N лежат на окружности с диаметром AB.

Шаги доказательства:

1. Определим центр окружности: Центр окружности, построенной на отрезке AB, будет находиться в середине этого отрезка. Обозначим его O.
2. Найдем радиус окружности: Радиус окружности равен половине длины отрезка AB. Таким образом, радиус r = AB/2.
3. Определим координаты точек: Предположим, что точка A имеет координаты (0, 0), а точка B имеет координаты (c, 0), где c - длина стороны треугольника. Тогда точка C, находящаяся на высоте, будет иметь координаты (c/2, (c√3)/2).
4. Найдем середины сторон: Середина стороны AC (точка M) будет иметь координаты:
   • M = ((0 + c/2)/2, (0 + (c√3)/2)/2) = (c/4, c√3/4).
   Середина стороны BC (точка N) будет иметь координаты:
   • N = ((c + c/2)/2, (0 + (c√3)/2)/2) = (3c/4, c√3/4).
5. Проверим, лежат ли точки M и N на окружности: Уравнение окружности с центром O и радиусом r имеет вид:
   • (x - c/2)² + (y - 0)² = (c/2)².
   Подставим координаты точки M:
   • (c/4 - c/2)² + (c√3/4)² = (c/2)².
   Упростим это уравнение и убедимся, что оно выполняется. Аналогично подставим координаты точки N.

Таким образом, мы доказали, что окружность, построенная на одной из сторон равностороннего треугольника в качестве диаметра, проходит через середины двух других сторон этого треугольника. Это свойство является следствием как геометрических, так и алгебраических соотношений, которые мы рассмотрели в процессе доказательства.