Как можно обосновать, что в треугольнике медиана, проведенная из одной из вершин, не меньше высоты, проведенной из той же вершины?

Геометрия 8 класс Треугольники медиана треугольника высота треугольника свойства медианы геометрия треугольника обоснование медианы сравнение медианы и высоты треугольники и медианы доказательство в геометрии Новый

Чтобы обосновать, что медиана, проведенная из одной из вершин треугольника, не меньше высоты, проведенной из той же вершины, рассмотрим треугольник ABC, где медиана AM проведена из вершины A к стороне BC, а высота AH проведена из той же вершины A к той же стороне BC.

Мы будем использовать несколько свойств треугольников и некоторые геометрические соотношения.

1. Определение медианы и высоты:
   • Медиана AM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC.
   • Высота AH перпендикулярна стороне BC.
2. Сравнение медианы и высоты:
   • Рассмотрим треугольники ABM и ACM. Эти треугольники имеют общую сторону AM и равные основания BM и MC (так как M - середина BC).
   • По свойству равенства треугольников, если два треугольника имеют равные основания и общую высоту, то их площади равны.
3. Площадь треугольника:
   • Площадь треугольника ABM можно выразить как: S1 = (1/2) * BM * AH.
   • Площадь треугольника ACM можно выразить как: S2 = (1/2) * MC * AH.
   • Так как BM = MC, то S1 = S2.
4. Использование неравенства:
   • Теперь рассмотрим треугольник ABM и высоту AH. Поскольку AM - медиана, она делит треугольник на два равных по площади, но не обязательно равные по высоте.
   • Если высота AH меньше медианы AM, то это означает, что при фиксированной базе BM, высота AH не может быть больше, чем AM.

Таким образом, мы можем заключить, что медиана AM, проведенная из вершины A, всегда будет не меньше высоты AH, проведенной из той же вершины A, поскольку медиана делит треугольник на две равные площади, а высота - это перпендикуляр, который не может превышать длину медианы.

Это и обосновывает, что в любом треугольнике медиана, проведенная из одной из вершин, не меньше высоты, проведенной из той же вершины.