Как можно определить длины диагоналей прямоугольника, если известен его периметр, равный 98 см, и периметр одного из треугольников, образованных диагональю, равен 90 см?

Геометрия 8 класс Диагонали прямоугольника длина диагоналей прямоугольника периметр прямоугольника треугольник и диагональ задача по геометрии решение задач по геометрии Новый

Чтобы определить длины диагоналей прямоугольника, нам нужно использовать данные о периметре прямоугольника и периметре одного из треугольников, образованных диагональю. Давайте разберем шаги решения.

Шаг 1: Найдем стороны прямоугольника.

Периметр прямоугольника P равен 98 см. Формула для периметра прямоугольника выглядит так:

P = 2(a + b),

где a и b - длины сторон прямоугольника. Подставим известное значение периметра:

2(a + b) = 98.

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 49.

Шаг 2: Найдем длины сторон через периметр треугольника.

Теперь у нас есть второй периметр, равный 90 см, который относится к треугольнику, образованному диагональю и двумя сторонами прямоугольника. Периметр этого треугольника можно записать как:

P_triangle = a + b + d,

где d - длина диагонали. Подставим известное значение:

a + b + d = 90.

Так как мы уже знаем, что a + b = 49, подставим это значение:

49 + d = 90.

Теперь найдем d:

d = 90 - 49 = 41.

Шаг 3: Найдем длины диагоналей прямоугольника.

Теперь, когда мы знаем длину диагонали d, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения сторон a и b. Напомним, что диагональ прямоугольника можно найти по формуле:

d = √(a² + b²).

Мы знаем, что d = 41, и можем записать:

41 = √(a² + b²).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

41² = a² + b².

Это дает нам:

1681 = a² + b².

Шаг 4: Решим систему уравнений.

Теперь у нас есть система уравнений:

• a + b = 49,
• a² + b² = 1681.

Из первого уравнения выразим одну из переменных, например b:

b = 49 - a.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (49 - a)² = 1681.

Раскроем скобки:

a² + (2401 - 98a + a²) = 1681.

Объединим подобные члены:

2a² - 98a + 2401 - 1681 = 0.

Это упрощается до:

2a² - 98a + 720 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант или другие методы.

Шаг 5: Найдем значения a и b.

После нахождения значений a и b, мы можем подтвердить, что диагональ равна 41 см, и это будет длина диагоналей прямоугольника.

Таким образом, мы нашли длины диагоналей прямоугольника, используя периметры и свойства треугольников, образованных диагоналями.