Как можно вычислить площадь прямоугольника, если известен его периметр, равный 22, и длина диагонали, равная корню из 101?

Геометрия 8 класс Площадь и периметр прямоугольника площадь прямоугольника периметр длина диагонали корень из 101 формулы геометрии задача по геометрии 8 класс свойства прямоугольника

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, зная его периметр и длину диагонали, нам нужно использовать несколько формул и немного алгебры. Давайте разберем этот процесс по шагам.

Шаг 1: Запишем известные данные.

• Периметр (P) = 22
• Длина диагонали (d) = корень из 101

Шаг 2: Вспомним формулы.

• Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: P = 2 * (a + b), где a и b - длины сторон прямоугольника.
• Длина диагонали вычисляется по формуле: d = корень из (a^2 + b^2).
• Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = a * b.

Шаг 3: Найдем стороны прямоугольника.

Из формулы для периметра мы можем выразить одну сторону через другую:

a + b = P / 2 = 22 / 2 = 11.

Таким образом, мы можем записать:

b = 11 - a.

Шаг 4: Подставим выражение для b в формулу диагонали.

Теперь подставим b в формулу для диагонали:

d = корень из (a^2 + b^2) = корень из (a^2 + (11 - a)^2).

Подставим значение d:

корень из (a^2 + (11 - a)^2) = корень из 101.

Шаг 5: Уберем корень.

Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат:

a^2 + (11 - a)^2 = 101.

Раскроем скобки:

a^2 + (121 - 22a + a^2) = 101.

Соберем все в одно уравнение:

2a^2 - 22a + 121 - 101 = 0.

Упростим:

2a^2 - 22a + 20 = 0.

Разделим на 2:

a^2 - 11a + 10 = 0.

Шаг 6: Найдем корни уравнения.

Теперь решим квадратное уравнение:

Используем формулу для нахождения корней: a = (-b ± корень из (b^2 - 4ac)) / 2a.

В нашем случае a = 1, b = -11, c = 10:

Корни равны:

• a1 = (11 + корень из (121 - 40)) / 2 = (11 + корень из 81) / 2 = (11 + 9) / 2 = 10.
• a2 = (11 - корень из (121 - 40)) / 2 = (11 - корень из 81) / 2 = (11 - 9) / 2 = 1.

Шаг 7: Найдем b.

Теперь, зная a, можем найти b:

• Если a = 10, то b = 11 - 10 = 1.
• Если a = 1, то b = 11 - 1 = 10.

Шаг 8: Вычислим площадь.

Теперь, зная стороны a и b, можем найти площадь:

S = a * b = 10 * 1 = 10.

Таким образом, площадь прямоугольника равна 10.

Для вычисления площади прямоугольника, зная его периметр и длину диагонали, мы можем воспользоваться несколькими формулами и свойствами прямоугольника. Давайте разберем шаги решения по порядку.

Шаг 1: Запишем известные данные.

• Периметр (P) = 22
• Длина диагонали (d) = корень из 101

Шаг 2: Вспомним формулы.

• Периметр прямоугольника можно выразить через его длину (a) и ширину (b): P = 2(a + b).
• Длина диагонали связана со сторонами прямоугольника через теорему Пифагора: d = корень из (a² + b²).
• Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = a * b.

Шаг 3: Найдем длину и ширину прямоугольника.

Из формулы для периметра выразим a + b:

1. 2(a + b) = 22
2. Следовательно, a + b = 11.

Теперь выразим одну из сторон через другую. Пусть b = 11 - a.

Теперь подставим это выражение в формулу для диагонали:

1. d = корень из (a² + b²) = корень из (a² + (11 - a)²).
2. Подставим значение d = корень из 101:
3. корень из (a² + (11 - a)²) = корень из 101.

Шаг 4: Упростим уравнение.

Квадрат обеих сторон уравнения даст:

1. a² + (11 - a)² = 101.
2. Раскроем скобки:
3. a² + (121 - 22a + a²) = 101.
4. 2a² - 22a + 121 = 101.
5. 2a² - 22a + 20 = 0.

Шаг 5: Упростим уравнение.

Разделим все коэффициенты на 2:

1. a² - 11a + 10 = 0.

Шаг 6: Найдем корни уравнения.

Теперь можем найти корни этого квадратного уравнения с помощью формулы решения квадратного уравнения:

1. a = (11 ± корень из (11² - 4 * 1 * 10)) / (2 * 1).
2. Решим подкоренное выражение: 11² - 40 = 121 - 40 = 81.
3. Корень из 81 = 9.
4. Таким образом, a = (11 ± 9) / 2.

Шаг 7: Найдем значения a и b.

• a1 = (11 + 9) / 2 = 10, b1 = 11 - 10 = 1.
• a2 = (11 - 9) / 2 = 1, b2 = 11 - 1 = 10.

Шаг 8: Вычислим площадь.

Теперь, зная стороны a и b, можем вычислить площадь:

• S = a * b = 10 * 1 = 10.

Таким образом, площадь прямоугольника равна 10 квадратных единиц.