Какое уравнение будет у окружности, симметричной окружности, заданной уравнением x^2+y^2+6x-8y=0, относительно точки A(-1;3)?

Геометрия 8 класс Окружности и их уравнения уравнение окружности симметрия окружности геометрия 8 класс координаты точки преобразование уравнения Новый

Чтобы найти уравнение окружности, симметричной данной окружности относительно точки A(-1;3), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. **Найдем центр и радиус данной окружности.**

• Уравнение окружности имеет вид: x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0.
• Сначала приведем его к стандартному виду: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
• Для этого сгруппируем и выделим полный квадрат:
1. x^2 + 6x + y^2 - 8y = 0.
2. (x^2 + 6x) + (y^2 - 8y) = 0.
3. Для x: x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9.
4. Для y: y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16.
5. Теперь подставим обратно: (x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 = 0.
6. Упрощаем: (x + 3)^2 + (y - 4)^2 - 25 = 0.
7. Таким образом, (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25.
• Теперь мы видим, что центр окружности (h, k) = (-3, 4), а радиус r = 5.

2. **Найдем симметричную окружность относительно точки A(-1; 3).**

• Чтобы найти центр симметричной окружности, мы можем использовать формулу для нахождения симметричной точки относительно данной:
1. C = (-3, 4) — центр исходной окружности.
2. A = (-1, 3) — точка симметрии.
3. Сначала найдем вектор от точки A до центра C:
4. Вектор AC = C - A = (-3 - (-1), 4 - 3) = (-2, 1).
5. Теперь, чтобы найти симметричную точку C', добавим вектор AC к точке A:
6. C' = A + AC = (-1, 3) + (-2, 1) = (-3, 4) + (-2, 1) = (-5, 5).
• Таким образом, новый центр симметричной окружности будет находиться в точке C' = (-5, 5).

3. **Запишем уравнение симметричной окружности.**

• Теперь, зная новый центр и радиус, можем записать уравнение окружности:
• Центр: (-5, 5), радиус: 5.
• Уравнение будет иметь вид: (x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 25.

Таким образом, уравнение окружности, симметричной заданной окружности относительно точки A(-1; 3), будет:

(x + 5)^2 + (y - 5)^2 = 25.