Какова длина катета, если его проекция на гипотенузу, равную 16 см, составляет 4 см?

Геометрия 8 класс Треугольники длина катета проекция на гипотенузу гипотенуза 16 см геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длину катета, зная его проекцию на гипотенузу, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника.

Давайте обозначим:

• c - длина гипотенузы (в нашем случае c = 16 см);
• a - длина катета, который мы ищем;
• b - длина второго катета;
• h - проекция катета a на гипотенузу (в нашем случае h = 4 см).

Согласно свойству проекции в прямоугольном треугольнике, проекция катета на гипотенузу равна длине катета, умноженной на косинус угла между катетом и гипотенузой. Мы можем записать это как:

h = a * cos(угол).

Также, по теореме Пифагора, мы знаем, что:

c^2 = a^2 + b^2.

Но в данном случае, чтобы найти катет, нам нужно выразить его через проекцию. Мы знаем, что:

h = a * (b / c),

где b - длина второго катета. Подставим известные значения:

4 = a * (b / 16).

Теперь, чтобы найти a, нам нужно выразить b через a. Для этого используем теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2.

Подставим значение c:

16^2 = a^2 + b^2.

256 = a^2 + b^2.

Теперь мы можем выразить b через a:

b^2 = 256 - a^2.

Теперь подставим это значение в уравнение для проекции:

4 = a * (sqrt(256 - a^2) / 16).

Умножим обе стороны на 16:

64 = a * sqrt(256 - a^2).

Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:

4096 = a^2 * (256 - a^2).

Раскроем скобки:

4096 = 256a^2 - a^4.

Приведем все к одному уравнению:

a^4 - 256a^2 + 4096 = 0.

Это квадратное уравнение относительно a^2. Обозначим x = a^2:

x^2 - 256x + 4096 = 0.

Теперь можем найти корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-256)^2 - 4 * 1 * 4096 = 65536 - 16384 = 49152.

Теперь найдем корни:

x = (256 ± sqrt(49152)) / 2.

После вычислений получаем:

sqrt(49152) = 221.5 (приблизительно),

поэтому:

x1 = (256 + 221.5) / 2 = 238.75,

x2 = (256 - 221.5) / 2 = 17.25.

Теперь найдем a:

a = sqrt(17.25) ≈ 4.14 см (приблизительно).

Таким образом, длина катета составляет примерно 4.14 см.