Какова длина катетов прямоугольного треугольника, если косинус одного из углов равен 0,8, а длина гипотенузы составляет 20 см?

Геометрия 8 класс Треугольники длина катетов прямоугольный треугольник косинус угла длина гипотенузы задача по геометрии Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, где известен косинус одного из углов и длина гипотенузы, следуем следующим шагам:

1. Определяем угол: Пусть угол, косинус которого равен 0,8, обозначим как α. Это значит, что cos(α) = 0,8.
2. Используем определение косинуса: В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Обозначим прилежащий катет как a, а противолежащий катет как b. Тогда:
   • cos(α) = a / c, где c - длина гипотенузы.
3. Подставляем известные значения: Из условия задачи известно, что c = 20 см. Подставляем это значение в формулу:
   • 0,8 = a / 20.
4. Решаем уравнение: Умножим обе стороны уравнения на 20:
   • a = 0,8 * 20 = 16 см.
5. Находим противолежащий катет: Для нахождения длины противолежащего катета b используем синус угла α. Зная, что sin(α) = √(1 - cos²(α)), находим:
   • cos²(α) = 0,8² = 0,64.
   • sin²(α) = 1 - 0,64 = 0,36.
   • sin(α) = √0,36 = 0,6.
6. Используем определение синуса: Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
   • sin(α) = b / c.
7. Подставляем известные значения:
   • 0,6 = b / 20.
8. Решаем уравнение: Умножим обе стороны на 20:
   • b = 0,6 * 20 = 12 см.

Итак, длины катетов прямоугольного треугольника:

• Прилежащий катет (a) = 16 см.
• Противолежащий катет (b) = 12 см.