Какова площадь меньшего треугольника, если периметры подобных треугольников относятся как 2:3, а сумма их площадей составляет 260 см²?

Геометрия 8 класс Подобие треугольников площадь меньшего треугольника периметры подобных треугольников сумма площадей треугольников геометрия 8 класс задачи на площади треугольников Новый

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства подобных треугольников и соотношение их площадей.

Шаг 1: Определим отношение площадей треугольников.

Если периметры двух подобных треугольников относятся как 2:3, то и их площади будут относиться как квадрат этих отношений. Это связано с тем, что площадь треугольника пропорциональна квадрату его линейных размеров.

Таким образом, если периметры относятся как 2:3, то площади будут относиться как:

2² : 3² = 4 : 9.

Шаг 2: Обозначим площади треугольников.

Пусть площадь меньшего треугольника равна S1, а площадь большего треугольника - S2. Мы можем записать соотношение площадей:

S1 : S2 = 4 : 9.

Также нам известно, что сумма площадей этих треугольников составляет 260 см²:

S1 + S2 = 260.

Шаг 3: Выразим площади через одно переменное.

Из соотношения S1 : S2 = 4 : 9 мы можем выразить S2 через S1:

S2 = (9/4) * S1.

Теперь подставим это выражение в уравнение суммы площадей:

S1 + (9/4) * S1 = 260.

Шаг 4: Объединим и решим уравнение.

Объединим S1:

(1 + 9/4) * S1 = 260.

(13/4) * S1 = 260.

Теперь умножим обе стороны на 4/13:

S1 = 260 * (4/13).

Шаг 5: Вычислим S1.

Теперь посчитаем:

S1 = 260 * 4 / 13 = 80 см².

Шаг 6: Найдем S2 для проверки.

Теперь найдем площадь большего треугольника S2:

S2 = 260 - S1 = 260 - 80 = 180 см².

Мы можем также проверить, что отношение площадей 80 : 180 действительно равно 4 : 9:

80/180 = 4/9.

Ответ: Площадь меньшего треугольника составляет 80 см².