Какова величина косинуса угла, находящегося напротив основания равнобедренного треугольника, если площадь треугольника равна 81√3, а длина боковой стороны составляет 18, при этом угол является тупым?

Геометрия 8 класс Косинус угла в треугольнике косинус угла равнобедренный треугольник площадь треугольника тупой угол длина боковой стороны Новый

Чтобы найти величину косинуса угла, находящегося напротив основания равнобедренного треугольника, мы будем использовать формулу для площади треугольника и некоторые свойства равнобедренного треугольника.

Дано:

• Площадь треугольника (S) = 81√3
• Длина боковой стороны (a) = 18

Сначала вспомним формулу для площади треугольника через сторону и угол:

S = (1/2) * a * b * sin(C),

где a и b - стороны, образующие угол C. В нашем случае, так как это равнобедренный треугольник, обе боковые стороны равны, и мы можем обозначить основание как b.

Также мы можем использовать формулу для площади через основание и высоту:

S = (1/2) * b * h,

где h - высота, проведенная из вершины треугольника к основанию.

Теперь, чтобы найти b и h, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника, а также теорему косинусов. Но сначала найдем высоту h через площадь:

Из формулы площади:

81√3 = (1/2) * b * h.

Теперь, чтобы найти h, нам нужно выразить b. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

c² = a² + a² - 2*a*a*cos(C),

где c - основание треугольника, а C - угол напротив основания.

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, то:

b² = 18² + 18² - 2*18*18*cos(C).

Теперь подставим известные значения:

b² = 324 + 324 - 648*cos(C).

b² = 648 - 648*cos(C).

Теперь подставим это выражение для b в формулу площади:

81√3 = (1/2) * b * h.

Теперь выразим h через b:

h = (2 * 81√3) / b.

Теперь у нас есть два уравнения: одно для b и одно для h. Мы можем подставить h в уравнение для площади и решить его.

Однако, чтобы упростить процесс, давайте использовать другой подход, который позволит нам найти косинус угла напрямую:

Из формулы площади через две стороны и угол:

81√3 = (1/2) * 18 * 18 * sin(C).

Теперь найдем sin(C):

162√3 = 324 * sin(C).

sin(C) = (162√3) / 324 = √3 / 2.

Теперь, так как угол C является тупым, мы знаем, что cos(C) можно найти через sin(C):

cos²(C) + sin²(C) = 1.

cos²(C) = 1 - (√3 / 2)² = 1 - 3/4 = 1/4.

cos(C) = -√(1/4) = -1/2 (так как угол тупой).

Таким образом, величина косинуса угла, находящегося напротив основания равнобедренного треугольника, равна:

cos(C) = -1/2.