Каковы стороны равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 120 градусов, а площадь составляет 20 корней из 3 см²?

Геометрия 8 класс Равнобедренные треугольники равнобедренный треугольник угол 120 градусов площадь 20√3 см² стороны треугольника геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти стороны равнобедренного треугольника с заданными условиями, давайте начнем с анализа данных.

В равнобедренном треугольнике у нас есть:

• Угол при вершине равен 120 градусов.
• Площадь треугольника равна 20 корней из 3 см².

Обозначим стороны равнобедренного треугольника:

• Стороны, которые равны, обозначим как "a".
• Основание треугольника обозначим как "b".

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае, основание равно "b", а высота будет проведена из вершины треугольника к основанию. Чтобы найти высоту, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.

Мы можем разделить треугольник на два равных прямоугольных треугольника, проведя высоту из вершины к основанию. Угол при вершине равен 120 градусов, следовательно, угол при основании (каждый из них) будет равен:

(180 - 120) / 2 = 30 градусов.

Теперь, используя тригонометрию, мы можем выразить высоту через сторону "a". В прямоугольном треугольнике:

• Синус угла 30 градусов равен 1/2.
• Высота (h) равна a * sin(30) = a * (1/2) = a/2.

Теперь подставим высоту в формулу для площади:

20√3 = (1/2) * b * (a/2).

Преобразуем уравнение:

20√3 = (1/4) * b * a.

Умножим обе стороны на 4:

80√3 = b * a.

Теперь нам нужно выразить "b" через "a". Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике, основание можно выразить через стороны и угол:

По теореме косинусов:

b² = a² + a² - 2 * a * a * cos(120).

Так как cos(120) = -1/2, то:

b² = 2a² + a² = 3a².

Следовательно, b = √(3a²) = a√3.

Теперь подставим "b" в уравнение для площади:

80√3 = (a√3) * a.

Преобразуем:

80√3 = a²√3.

Разделим обе стороны на √3:

80 = a².

Теперь найдем "a":

a = √80 = 4√5.

Теперь, подставим значение "a" для нахождения "b":

b = a√3 = (4√5)√3 = 4√15.

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника:

• Две равные стороны: 4√5 см.
• Основание: 4√15 см.

Итак, мы нашли стороны равнобедренного треугольника: 4√5 см и 4√15 см.