Каковы углы треугольника ABC, если высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M и угол BMC равен 140°?

Геометрия 8 класс Треугольники и их свойства углы треугольника треугольник ABC высоты треугольника остроугольный треугольник равнобедренный треугольник угол BMC точка M геометрия 8 класс задачи по геометрии свойства треугольников Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства равнобедренного треугольника и углы, образуемые его высотами.

Давайте разберем треугольник ABC, где AB = AC (так как он равнобедренный), и высоты, проведенные из вершины C на стороны AB и AC, пересекаются в точке M. Угол BMC равен 140°.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы при основании (углы A и B) равны. Обозначим угол A как α, тогда угол B также будет α. Угол C, соответственно, будет равен 180° - 2α, так как сумма углов треугольника равна 180°.

Теперь, рассмотрим угол BMC. Угол BMC образован высотой из точки C на сторону AB и высотой из точки C на сторону AC. Угол BMC равен 140°, а значит, мы можем записать следующее:

• Угол BMC = 180° - (угол A + угол C)
• Угол BMC = 180° - (α + (180° - 2α)) = 180° - (α + 180° - 2α) = 180° - (α - 2α) = 180° - (-α) = 180° + α

Таким образом, у нас есть равенство:

180° + α = 140°

Теперь решим это уравнение:

α = 140° - 180° = -40°

Это значение α не может быть отрицательным, что указывает на ошибку в предположениях. Давайте пересмотрим угол BMC. Угол BMC на самом деле равен 180° - угол C, так как высоты пересекаются.

Угол BMC = 180° - угол C = 180° - (180° - 2α) = 2α.

Теперь у нас есть:

2α = 140°

Следовательно, α = 70°.

Теперь мы можем найти угол C:

Угол C = 180° - 2α = 180° - 2 * 70° = 180° - 140° = 40°.

Таким образом, углы треугольника ABC:

• Угол A = 70°
• Угол B = 70°
• Угол C = 40°

Ответ: Углы треугольника ABC равны 70°, 70° и 40°.