Условие. В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны и BC:AD = 1:2. На боковой стороне CD отмечена точка M так, что CM:MD = 1:2. Докажите, что прямая AM делит отрезок BD пополам.

Наглядный рисунок (схема):

(координатная схема в масштабе, вид сверху)

A(0,0) ·———————· D(2,0)
| /
| /
| /
B(0,1) ·———· C(1,1)
Точка M лежит на CD: M(4/3, 2/3)

1. Поставим систему координат. Так как BC ∥ AD, удобно расположить эти основания горизонтально. Пусть AD лежит на оси Ox, причём A = (0,0), D = (2,0) (так как AD условно вдвое длиннее BC). Положим верхнее основание BC на прямой y = 1 так, чтобы BC = 1: возьмём B = (0,1), C = (1,1). Такое расположение соответствует BC:AD = 1:2 и сохраняет общую форму трапеции.
2. Найдём координаты точки M. Точка M делит отрезок CD в отношении CM:MD = 1:2, значит M находится на CD на расстоянии 1/3 от C к D. Координаты C = (1,1), D = (2,0), вектор CD = D − C = (1, −1). Тогда
   M = C + (1/3)·(CD) = (1,1) + (1/3)·(1,−1) = (1 + 1/3, 1 − 1/3) = (4/3, 2/3).
3. Найдём середину отрезка BD. Координаты B = (0,1), D = (2,0). Середина BD — точка K с координатами
   K = ((0+2)/2, (1+0)/2) = (1, 1/2).
4. Проверим, лежит ли K на прямой AM. Уравнение векторного направления AM: вектор AM = M − A = (4/3, 2/3). Проверим, для какого множителя t выполняется A + t·AM = K:
   по x: t·(4/3) = 1 ⇒ t = 3/4;
   по y: t·(2/3) = (3/4)·(2/3) = 1/2 = 0.5 — совпадает с координатой y точки K.
   Значит K = A + (3/4)·AM, то есть точка K лежит на отрезке AM.
5. Вывод. Поскольку K — середина BD и K лежит на прямой AM, прямая AM делит отрезок BD пополам.

Комментариий учителя. Мы выбрали удобную систему координат (поставили основания горизонтально и взяли простые числа для длин), что не ограничивает общности: любые параллельные основания можно привести параллельным сдвигом и растяжением по осям. Координатный метод даёт чистое и прозрачное вычисление, понятное учащимся 8-го класса. Можно также дать синтетическое доказательство через подобие и гомотетию, но координаты здесь короче и нагляднее.