На сторонах АС и ВС треугольника АВС отметили точки М и Р соответственно так, что АМ:МС=3:2, СР:РВ=2:1. Отрезки АР и ВМ пересекаются в точке О. Прямая СО пересекает сторону АВ в точке К. 1) Каково отношение АК:КВ? 2) В каком отношении прямая МР делит отрезок СК?

Геометрия 8 класс Пропорциональные отрезки в треугольнике геометрия 8 класс треугольник точки на сторонах отношение отрезков пересечение отрезков задача по геометрии свойства треугольника прямые и отрезки Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа условий. У нас есть треугольник ABC, и мы отметили точки M и P на сторонах AC и BC соответственно. Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1) Каково отношение АК:КВ?

Сначала определим координаты точек. Пусть A будет в точке (0, 0), C в точке (5, 0), и B в точке (2, 3). Теперь найдем координаты точек M и P.

• Точка M делит отрезок AC в отношении 3:2. Значит, координаты M можно найти следующим образом:

Координаты M = (3/5 * 5, 0) = (3, 0).

• Точка P делит отрезок BC в отношении 2:1. Найдем координаты P:

Координаты P = (2/3 * 2 + 1/3 * 5, 2/3 * 3 + 1/3 * 0) = (4/3 + 5/3, 2) = (3, 2).

Теперь у нас есть точки A(0, 0), M(3, 0), C(5, 0), B(2, 3) и P(3, 2).

Теперь найдем уравнение прямой AP и прямой BM, чтобы определить точку O, где они пересекаются.

• Уравнение прямой AP:

Наклон AP = (2 - 0) / (3 - 0) = 2/3. Уравнение прямой: y = (2/3)x.

• Уравнение прямой BM:

Наклон BM = (3 - 0) / (2 - 3) = -3. Уравнение прямой: y = -3(x - 2) + 3 = -3x + 9.

Теперь найдем точку O, решая систему уравнений:

• 2/3 * x = -3x + 9.

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

2x = -9x + 27.

11x = 27, x = 27/11.

Подставим x в одно из уравнений, чтобы найти y:

y = (2/3)(27/11) = 18/11.

Таким образом, точка O имеет координаты (27/11, 18/11).

Теперь найдем координаты точки K, где прямая CO пересекает сторону AB. Уравнение прямой CO:

Наклон CO = (18/11 - 0) / (27/11 - 5) = (18/11) / (27/11 - 55/11) = (18/11) / (-28/11) = -9/14.

Уравнение прямой CO: y = -9/14(x - 5).

Теперь найдем пересечение с прямой AB. Уравнение AB:

y = (3/2)(x - 0) = (3/2)x.

Решим систему уравнений:

• -9/14(x - 5) = (3/2)x.

Умножим обе стороны на 14, чтобы избавиться от дробей:

-9(x - 5) = 21x.

-9x + 45 = 21x.

30x = 45, x = 45/30 = 3/2.

Теперь подставим x обратно, чтобы найти y:

y = (3/2)(3/2) = 9/4.

Таким образом, точка K имеет координаты (3/2, 9/4).

Теперь найдем отношение АК:КВ. Для этого вычислим расстояния:

• Расстояние AK = √((3/2 - 0)² + (9/4 - 0)²) = √((3/2)² + (9/4)²) = √(9/4 + 81/16) = √(36/16 + 81/16) = √(117/16) = √117/4.
• Расстояние КВ = √((3/2 - 2)² + (9/4 - 3)²) = √((-1/2)² + (-3/4)²) = √(1/4 + 9/16) = √(4/16 + 9/16) = √(13/16) = √13/4.

Теперь найдем отношение:

АК:КВ = (√117/4):(√13/4) = √117:√13.

Ответ: АК:КВ = √117:√13.

2) В каком отношении прямая МР делит отрезок СК?

Теперь найдем точку S, где прямая MR пересекает отрезок CK. Уравнение прямой MR:

Наклон MR = (2 - 0) / (3 - 3) = не определен (это вертикальная прямая).

Так как M и R имеют одинаковую x-координату, прямая MR будет вертикальной и делит отрезок CK в отношении 1:1, поскольку обе точки C и K имеют разные y-координаты.

Ответ: Прямая МР делит отрезок СК в отношении 1:1.