В квадрате ABCD со стороной 18 см точка M делит сторону CD в отношении 2:1, начиная от вершины C. Прямая AM пересекает диагональ BD в точке E. Какова площадь треугольника DEM?

Геометрия 8 класс Площади фигур геометрия 8 класс квадрат ABCD точка M сторона CD отношение 2:1 прямая AM диагональ BD площадь треугольника DEM Новый

Для решения данной задачи, давайте последовательно выполним все необходимые шаги.

Шаг 1: Определим координаты вершин квадрата ABCD.

• A(0, 18)
• B(18, 18)
• C(18, 0)
• D(0, 0)

Шаг 2: Найдем координаты точки M.

Точка M делит сторону CD в отношении 2:1, начиная от вершины C. Это значит, что от точки C до точки D длина отрезка делится на 3 равные части, из которых 2 части идут от C до M и 1 часть от M до D.

Координаты точки M можно найти следующим образом:

• По оси X: x_M = 18 - (2/3) * (18 - 0) = 18 - 12 = 6
• По оси Y: y_M = 0 + (2/3) * (0 - 0) = 0

Таким образом, координаты точки M: M(6, 0).

Шаг 3: Найдем уравнение прямой AM.

Для нахождения уравнения прямой AM, используем координаты точек A(0, 18) и M(6, 0).

Сначала найдем угловой коэффициент (k) прямой AM:

k = (y_M - y_A) / (x_M - x_A) = (0 - 18) / (6 - 0) = -18 / 6 = -3.

Теперь уравнение прямой AM в общем виде: y - y_A = k(x - x_A), то есть:

y - 18 = -3(x - 0), что можно переписать как:

y = -3x + 18.

Шаг 4: Найдем уравнение диагонали BD.

Для диагонали BD, используя координаты B(18, 18) и D(0, 0), найдем угловой коэффициент:

k = (y_B - y_D) / (x_B - x_D) = (18 - 0) / (18 - 0) = 1.

Уравнение диагонали BD будет:

y = x.

Шаг 5: Найдем точку E пересечения прямой AM и диагонали BD.

Для этого приравняем уравнения:

-3x + 18 = x.

Решим это уравнение:

1. Переносим x влево: -3x - x + 18 = 0.
2. Соберем подобные: -4x + 18 = 0.
3. Получим: -4x = -18, значит x = 18/4 = 4.5.

Теперь подставим x = 4.5 в уравнение y = x:

y = 4.5.

Таким образом, точка E имеет координаты E(4.5, 4.5).

Шаг 6: Найдем площадь треугольника DEM.

Координаты точек D(0, 0), E(4.5, 4.5) и M(6, 0).

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|, где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

Подставим координаты:

• x1 = 0, y1 = 0
• x2 = 4.5, y2 = 4.5
• x3 = 6, y3 = 0

Площадь = 0.5 * |0(4.5 - 0) + 4.5(0 - 0) + 6(0 - 4.5)| = 0.5 * |0 + 0 - 27| = 0.5 * 27 = 13.5.

Ответ: Площадь треугольника DEM составляет 13.5 см².