В одном из углов прямоугольного треугольника угол равен 60 градусов, а разность гипотенузы и меньшего катета составляет 15. Как можно определить гипотенузу этого треугольника?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники и тригонометрические функции прямоугольный треугольник угол 60 градусов гипотенуза меньший катет разность сторон геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что обозначим необходимые элементы треугольника:

• Пусть гипотенуза треугольника равна c.
• Пусть меньший катет (противолежащий углу в 60 градусов) равен a.
• Тогда больший катет (прилежащий к углу в 60 градусов) будет равен b.

По условию задачи, разность гипотенузы и меньшего катета равна 15:

c - a = 15

Также, в прямоугольном треугольнике с углом в 60 градусов мы можем использовать соотношения между сторонами:

• Синус угла 60 градусов равен корень из 3 делить на 2: sin(60°) = a/c = √3/2.
• Косинус угла 60 градусов равен 1/2: cos(60°) = b/c = 1/2.

Из первого соотношения выразим a через c:

a = c * √3 / 2

Теперь подставим это значение в уравнение разности:

c - (c * √3 / 2) = 15

Упростим это уравнение:

c (1 - √3 / 2) = 15

Теперь найдем значение 1 - √3 / 2:

1 - √3 / 2 = (2 - √3) / 2

Следовательно, уравнение принимает вид:

c * (2 - √3) / 2 = 15

Умножим обе стороны на 2:

c * (2 - √3) = 30

Теперь выразим c:

c = 30 / (2 - √3)

На этом этапе можно вычислить значение c. Однако, для более удобного представления, можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

c = 30 * (2 + √3) / ((2 - √3)(2 + √3))

Считаем знаменатель:

(2 - √3)(2 + √3) = 4 - 3 = 1

Таким образом, мы получаем:

c = 30 * (2 + √3)

Теперь можем подставить значение √3 (примерно 1.732) и вычислить c:

c ≈ 30 * (2 + 1.732) ≈ 30 * 3.732 ≈ 111.96

Итак, гипотенуза треугольника составляет примерно 112 единиц.