В прямоугольном треугольнике ABC, где угол B равен 90 градусов, длина отрезка CB составляет 15 см, а косинус угла C равен 3/5. Как можно определить длины отрезков CA и AB?

Геометрия 8 класс Прямоугольные треугольники и тригонометрические функции прямоугольный треугольник угол B 90 градусов длина отрезка CB косинус угла C длины отрезков CA и AB Новый

Давайте разберемся с данным прямоугольным треугольником ABC, где угол B равен 90 градусов. Мы знаем, что:

• Длина отрезка CB = 15 см
• Косинус угла C равен 3/5

Для начала вспомним, что косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. В нашем случае угол C имеет прилежащий катет AB и гипотенузу AC. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

cos(C) = AB / AC

Подставим известное значение косинуса:

3/5 = AB / AC

Из этого уравнения можно выразить AB через AC:

AB = (3/5) * AC

Теперь мы знаем, что CB является противолежащим катетом для угла C. По определению синуса угла, синус угла C будет равен отношению длины противолежащего катета CB к длине гипотенузы AC:

sin(C) = CB / AC

Сначала найдем синус угла C. Поскольку мы знаем, что:

sin²(C) + cos²(C) = 1

Подставим значение косинуса:

sin²(C) + (3/5)² = 1

sin²(C) + 9/25 = 1

sin²(C) = 1 - 9/25 = 16/25

Теперь найдём синус:

sin(C) = √(16/25) = 4/5

Теперь подставим это значение в уравнение для синуса:

4/5 = 15 / AC

Теперь выразим AC:

AC = 15 / (4/5) = 15 * (5/4) = 18.75 см

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы AC, мы можем найти длину катета AB:

AB = (3/5) AC = (3/5) 18.75 = 11.25 см

Таким образом, мы получили следующие длины отрезков:

• Длина отрезка CA (гипотенуза) = 18.75 см
• Длина отрезка AB (прилежащий катет) = 11.25 см

Ответ: Длина отрезка CA составляет 18.75 см, а длина отрезка AB составляет 11.25 см.